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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - A und B kompakt und Schnitt
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A und B kompakt und Schnitt: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mi 27.04.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Seien $A,B$ kompakte Teilmengen eines metrischen Raumes. Man zeige, dass [mm] $A\cup [/mm] B$ kompakt ist.


Hallo,

Beweis: Es ist [mm] $(U_{i})_{i \in I}$ [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] $A\cup [/mm] B$. Dann ist es auch eine offene Überdeckung von $A$ und eine offene Überdeckung von $B$. Wegen der Kompaktheit von $A,B$ existieren [mm] $J_{1},J_{2} \subset [/mm] I$ endlich, so dass:

$A [mm] \subset \bigcup_{j\in J_{1}} U_{j}$ [/mm] und $B [mm] \subset \bigcup_{j\in J_{2}} U_{j}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow A\cup [/mm] B [mm] \subset \bigcup_{j\in J_{1}\cup J_{2}}U_{j}$ [/mm]

Mit der Endlichkeit von [mm] $J_{1}\cup J_{2}\subset [/mm] I$ ist das auch eine Überdeckung von [mm] $(U_{i})_{i\in I}$ [/mm]


Reicht das so? Was kann man besser macheN?



Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.



Danke und Gruss
kushkush

        
Bezug
A und B kompakt und Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:56 Do 28.04.2011
Autor: Blech

Hi,

> Reicht das so?

Ja.

> Was kann man besser macheN?

Das N sollte ein kleines n sein. =)

Im Ernst:

> Mit der Endlichkeit von $ [mm] J_{1}\cup J_{2}\subset [/mm] I $ ist das auch eine Überdeckung von $ [mm] (U_{i})_{i\in I} [/mm] $

Der Satz ist ein bißchen mißverständlich was was ist. Die (vielleicht über-) vollständige Variante wäre, denk ich:

Mit der Endlichkeit von [mm] $J_1\cup J_2\subseteq [/mm] I$, [mm] $|J_1\cup J_2|\leq |J_2|+|J_2|<\infty$, [/mm]  ist $ [mm] (U_{i})_{i\in J_1\cup J_2} [/mm] $ die gesuchte endliche Teilüberdeckung von [mm] $A\cup [/mm] B$.

ciao
Stefan





Bezug
                
Bezug
A und B kompakt und Schnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Do 28.04.2011
Autor: kushkush

Hallo!

> Verbesserung

Dankeschön!



> ciao

Gruss

kushkush

Bezug
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