A*x=b lösbar, A^t*y=0 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Mordad75 |
| Aufgabe | Es sei A eine reelle [mm] m\times [/mm] n-Matrix und b [mm] \in \IR^{m}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
1) Das lineare Gleichungssystem A*x=b ist lösbar.
2) b ist orhogonal zum Lösungsraum des Gleichungssytems [mm] A^{t}*y=0. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
an dieser Aufgabe hakt es z.Zt. bei mir. Denn bisher haben wir über die transponierte Matrix nicht viel gesagt, außer wie sie definiert ist und dass sie denselben Rang wie A hat.
Und über A*x=b auch nur bisher Aussagen, wenn A quadratische Matrix ist. Deswegen fällt es mir schwer, das bisher Gelernte hier drauf anzuwenden, kann mir jemand einen Ansatz geben. Meist reicht das schon.
Gruß
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Hallo!
Versuch doch mal, die Eigenschaften des Skalarprodukts auszunutzen! Dein Ansatz sollte so aussehen:
Sei $Ax=b$ für ein [mm] $x\in\IR^n$, $y\in\mathrm{Kern}(A^t)$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\langle b;y\rangle=\dots$
[/mm]
Jetzt nutze aus, dass $A$ und [mm] $A^t$ [/mm] den gleichen Rang haben...
Gruß, banachella
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