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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Wir betrachten den n-dimensionalen Euklidischen Standardraum [mm] \left(\IR^{n},\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle\right) [/mm]. Sei [mm] \psi := \Psi_{\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)} : \IR^{n} \to \left(\IR^{n}\right)^{\*} [/mm]. ([mm] \Psi_{\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)} [/mm] ist der Isomorphismus, der [mm] $e_i$ [/mm] auf [mm] $e_i^{\*}$ [/mm] abbildet.) Für [mm] $u_{1}, \ldots, u_{n-1} \in \IR^n$ [/mm] definieren wir die Linearform [mm] \phi : \IR^{n} \to \IR, v \mapsto {\det} \left(v, u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)[/mm] und damit:
[mm] \kappa : \left(\IR^{n}\right)^{n-1} \to \IR^{n}, \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right) \mapsto \kappa \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right) := \psi^{-1}(\phi) [/mm]
Zeigen Sie: [mm] \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right) [/mm] linear unabhängig [mm] \gdw \kappa \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right) \not= 0 \gdw Lin\left(\kappa \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)\right) = \Lin \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)^{\perp} [/mm] |
Hallo,
ich habe die Lösung zur Aufgabe, aber gleich am Anfang ein Verständnisproblem. In der Lösung heißt es:
[mm] {det} \left(v, u_{1}, ..., u_{n-1}\right) = \phi (v) = \left\langle \kappa \left(u_{1}, ..., u_{n-1}\right) , v \right\rangle [/mm]
Ich verstehe nicht wie man hier auf das Skalarprodukt kommt. Offenbar verstehe ich die Abbildungsvorschrift nicht. Kann das jemand erklären?
Vielen Dank für die Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Lippel,
> Wir betrachten den n-dimensionalen Euklidischen
> Standardraum [mm]\left(\IR^{n},\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle\right) [/mm].
> Sei [mm]\psi := \Psi_{\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)} : \IR^{n} \to \left(\IR^{n}\right)^{\*} [/mm].
> ([mm] \Psi_{\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)}[/mm] ist der
> Isomorphismus, der [mm]e_i[/mm] auf [mm]e_i^{\*}[/mm] abbildet.) Für [mm]u_{1}, \ldots, u_{n-1} \in \IR^n[/mm]
> definieren wir die Linearform [mm]\phi : \IR^{n} \to \IR, v \mapsto {\det} \left(v, u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)[/mm]
> und damit:
> [mm]\kappa : \left(\IR^{n}\right)^{n-1} \to \IR^{n}, \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right) \mapsto \kappa \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right) := \psi^{-1}(\phi)[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]\left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)[/mm] linear
> unabhängig [mm]\gdw \kappa \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right) \not= 0 \gdw Lin\left(\kappa \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)\right) = \Lin \left(u_{1}, \ldots, u_{n-1}\right)^{\perp}[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe die Lösung zur Aufgabe, aber gleich am Anfang ein
> Verständnisproblem. In der Lösung heißt es:
> [mm]{det} \left(v, u_{1}, ..., u_{n-1}\right) = \phi (v) = \left\langle \kappa \left(u_{1}, ..., u_{n-1}\right) , v \right\rangle[/mm]
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> Ich verstehe nicht wie man hier auf das Skalarprodukt
> kommt. Offenbar verstehe ich die Abbildungsvorschrift
> nicht. Kann das jemand erklären?
Für jede Wahl von [mm]n-1[/mm] Vektoren [mm]w_1,\ldots,w_{n-1}\in\IR^n[/mm] kann man doch auf die gleiche Art und Weise, wie [mm]\phi[/mm] definiert wurde, eine Linearform definieren. Das ist dann eine Zuordnung
[mm](\IR^n)^{n-1}\to (\IR^n)^{\*}[/mm]
Speziell mit den Objekten aus der Aufgabenstellung haben wir:
[mm](u_1,\ldots,u_{n-1})\mapsto \phi[/mm]
[mm]\Psi^{-1}[/mm] ist eine Abbildung [mm](\IR^n)^{\*}\to\IR^n[/mm], lässt sich also mit der obigen Abbildung verketten:
[mm](\IR^n)^{n-1}\to(\IR^n)^{\*}\overset{\Psi^{-1}}{\to} \IR^n[/mm]
Diese Hintereinanderschaltung ist die Abbildung [mm]\kappa[/mm].
Nun zu der Gleichheit [mm]\phi(v)=\langle\kappa(u_1,\ldots,u_{n-1}),v\rangle[/mm]
Diese wird offensichtlich, wenn man zu Basisdarstellungen übergeht:
[mm]v\in\IR^n[/mm] hat die Darstellung [mm]v=v_1 e_1+\ldots+v_n e_n[/mm] und
[mm]\phi\in (\IR^n)^{\*}[/mm] habe die Darstellung [mm]\phi=\lambda_1 e_1^{\*}+\ldots+\lambda_n e_n^{\*}[/mm]
[mm]\Rightarrow\ \Psi^{-1}(\phi)=\lambda_1 e_1+\ldots+ \lambda_n e_n[/mm]
Es ergibt sich nun folgende einfache Gleichungskette:
[mm]\phi(v)[/mm]
[mm]=(\lambda_1 e_1^{\*}+\ldots+\lambda_n e_n^{\*})(v)[/mm]
[mm]=\lambda_1 e_1^{\*}(v)+\ldots+\lambda_n e_n^{\*}(v)[/mm]
(Nun gilt [mm]e_i^{\*}(v)=e_i^{\*}(v_1 e_1+\ldots+v_n e_n)=v_1 e_i^{\*}(e_1)+\ldots+v_i e_i^{\*}(e_i)+\ldots+v_n e_i^{\*}(e_n)=v_i[/mm], da [mm]e_i^{\*}[/mm] Dual-Basis-Vektoren sind):
[mm]=\lambda_1 v_1+\ldots+\lambda_n v_n[/mm]
[mm]=\langle \lambda_1 e_1 +\ldots+\lambda_n e_n,v_1 e_1+\ldots +v_n e_n\rangle[/mm] (da [mm]e_1,\ldots,e_n[/mm] Orthonormalsystem)
[mm]=\langle \Psi^{-1}(\phi),v \rangle[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Do 23.09.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Marc,
vielen Dank für die ausführliche Erläuterung.
Viele Grüße, Lippel
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