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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Do 29.10.2009 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Seien X,X' Mengen $f: X [mm] \rightarrow [/mm] X'$ eine Abbildung. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) f ist injektiv
[mm] (ii)$f(A\cap [/mm] B)= f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ für alle Teilmengen $A,B [mm] \subset [/mm] X$.
(iii) [mm] f(A\B) [/mm] = f(A) \ f(B) für alle Teilmengen $A,B [mm] \subset [/mm] X$. |
$(ii) [mm] \rightarrow [/mm] (i)$:
Annahme:
[mm] $f(A\cap [/mm] B)= f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ injektiv, falls [mm] $f(x_1)=f(x_3) \Rightarrow x_1=x_3$
[/mm]
Beweis durch Widerspruch:
[mm] $x_1 \in A\B$
[/mm]
[mm] $x_2 \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$
[mm] $x_3 \in B\A$
[/mm]
[mm] $f(A\cap [/mm] B)= [mm] f(x_2)$
[/mm]
[mm] $f(A)=[f(x_1) \cup f(x_2)]$ [/mm]
[mm] $f(B)=[f(x_3) \cup f(x_2)] [/mm] $
[mm] $f(x_2) \ne [f(x_1) \cup f(x_2)] \cap [f(x_3) \cup f(x_2)] \ne f(x_2) \cup [f(x_1) \cap f(x_3)] \Rightarrow f(x_1)=f(x_3) \Rightarrow x_1=x_3$ [/mm] Widerspruch
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] f ist injektiv
Stimmt das so?
falls nicht bitte korrigieren, wäre sehr wichtig.
danke für die hilfe
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> Seien X,X' Mengen [mm]f: X \rightarrow X'[/mm] eine Abbildung.
> Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
> (i) f ist injektiv
> (ii)[mm]f(A\cap B)= f(A) \cap f(B)[/mm] für alle Teilmengen [mm]A,B \subset X[/mm].
>
> (iii) [mm]f(A\B)[/mm] = f(A) \ f(B) für alle Teilmengen [mm]A,B \subset X[/mm].
>
> [mm](ii) \rightarrow (i)[/mm]:
> Annahme:
> [mm]f(A\cap B)= f(A) \cap f(B)[/mm] injektiv, falls [mm]f(x_1)=f(x_3) \Rightarrow x_1=x_3[/mm]
>
> Beweis durch Widerspruch:
Hallo,
wie lautet denn die Annahme, die Du hierzu triffst?
Normalerweise würde man jetzt annehmen: f ist nicht injektiv, dh. es gibt [mm] x_1, x_2 [/mm] mit [mm] x_1\not=x_3 [/mm] und [mm] f(x_1)=f(x_3)
[/mm]
Vielleicht versuchst Du hier sowas in der Art:
> [mm]x_1 \in A \ B[/mm]
> [mm]x_2 \in A\cap B[/mm]
> [mm]x_3 \in B \ A[/mm]
> [mm]f(A\cap B)= f(x_2)[/mm]
Spätestens hier wird's falsch, der Fehler taucht dann aber immer wieder so oder ähnlich auf: f(A) ist eine Menge, [mm] f(x_1) [/mm] ist ein Element dieser Menge. Aber es ist nicht(!) [mm] f(A)=f(x_1).
[/mm]
Versuch's mal so.
Voraussetzung:
> (ii)[mm]f(A\cap B)= f(A) \cap f(B)[/mm] für alle Teilmengen [mm]A,B \subset X[/mm].
Angenommen, f wäre nicht injektiv.
dann gäbe es Elemente [mm] x_1, x_2 \in [/mm] X mit [mm] x_1\not=x_2 [/mm] und [mm] f(x_1)=f(x_2).
[/mm]
Jetzt kommt der Kniff: Definiere Dir Mengen [mm] A:=\{x_1\} [/mm] und [mm] B:=\{x_2}.
[/mm]
Nun weiter.
Gruß v. Angela
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