Abb. von komplexen Zahlen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachte den zweidimensionalen R-VR V=C
Zeigen sie, dass für jedes z=a+ib [mm] \in [/mm] C die Multiplikationsabbildung
Mz: C-->C , w [mm] \mapsto [/mm] z*w eine lineare Abbildung des R-VR C ist. Berechnen sie die Matrix von Mz bezüglich der Standartbasis {e1,e2} von C [mm] \cong [/mm] R² |
Hi,
Also ich habe irgendwie keine Ahnung was die wollen....
1) soll ich hier nur linearität zeigen von w [mm] \mapsto [/mm] z*w indem ich ein beliebiges w,v aus C nehme und w+v und [mm] \lambda [/mm] *v abbilde und zeige es erfüllt die linearitätskriterien??? ich glaube nämlich dass es weitaus komplexer ist aber ich weiß nicht was sie sonst wollen da ich mich nicht mit komplexen zahlen auskenne
2) sonst wäre ja die Abbildungsmatrix einfach nur
[mm] \pmat{ z & 0 \\ 0 & z } [/mm] oder???
lg, Richard
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 So 25.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast das völlig missverstanden
du hast einerseits den 1dimensinalen Vektorraum C der komplexen Zahlen, dass hier f(w)=z*w ,z fest [mm] z\in [/mm] C eine lineare Abbildung ist ist trivial.
jetzt kann man C abbilden in [mm] R^2 [/mm] indem man w=x+iy abbildet auf [mm] (x,y)^T\in R^2.
[/mm]
Dann soll man nachweisen, dass die Abbildung die durch die Regeln der komplexen Multiplikation gegeben ist, auch in [mm] R^2 [/mm] ne lineare Abbildung ist, und die dazugehörige Matrix angeben.
Nimm dazu z=a+ib, bilde w im komplexen ab, das gibt ...., dann zeige, dass das auch ne lineare Abb. in [mm] R^2 [/mm] ist und finde die Matrix.
(die Matrix, die du aufgeschreiben hast ist völlig sinnlos, sie wäre ja nur für nen Vektor in [mm] C^2 [/mm] also [mm] R^4 [/mm] möglich.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo zusammen!
z = a+bi und w= c+di mit a,b,c,d [mm] \in \IR
[/mm]
Die Multiplikation ist: (z*w) = (ac-bd)+i(ad+bc) = e+fi mit e,f [mm] \in \IR
[/mm]
Nun soll gezeigt werden dass die Abbildung: [mm] m_{z} [/mm] : [mm] \IC \to \IC [/mm] , w [mm] \mapsto [/mm] z*w linear ist.
Muss ich da einfach das hier zeigen? f(z+w) = f(z)+f(w) und [mm] f(\lambda [/mm] z) = [mm] \lambda [/mm] f(z) ? Was hat das mit der Multipliaktion zu tun? Irgendwie versteh ich das nicht so ganz! Wie kann ich ansetzen?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Di 27.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass das in C linear ist, ist eigentlich direkt klar. wegen des Assoziativgesetzes der Multipl. f(w)=z*w, f(w+u)=z*(w+u)=... fertig.
Was das mit Mult. zu tun hat? die Abbildung in C ist gegeben durch die Multiplikation mit z (z eine feste Komplexe Zahl). so wie im Reellen f(x)=r*x ja auch ne Abb. ist von der man leicht nachweisen kann, dass sie linear ist!
Etwas mehr arbeit macht es, zu zeigen dass das auch als Abb. von (x,y) reeller Vektor ne lineare Abb. ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Ich hab jetzt folgendes:
Sei [mm] \IC [/mm] = [mm] \IR²
[/mm]
z=a+bi mit a,b [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] m_{z} [/mm] : [mm] \IC \to \IC [/mm] , [mm] m_{z}(w) [/mm] = z*w ist linear in [mm] \IC
[/mm]
[mm] \Rightarrow m_{z} [/mm] : [mm] \IR² \to \IR² [/mm] ist linear in [mm] \IR
[/mm]
(c,d) [mm] \mapsto [/mm] (ac-bd,bc,ad) WEIL z*(c+di) = a+bi)(c+di) = (ac-bd)+i(bc+ad) = (e+fi) mit dem Vektor (e,f) [mm] \in \IR²
[/mm]
[mm] \forall [/mm] z,w [mm] \in [/mm] V
[mm] m_{z}(z+w) [/mm] = [mm] m_{z}((a+bi)+(c+di)) [/mm] = [mm] m_{z}((a+c)+i(b+d))=...=m_{z}(z) [/mm] + [mm] m_{z}(w)
[/mm]
[mm] m_{z}(\lambda [/mm] w) =...= [mm] \lambda m_{z}(w)
[/mm]
Die Matrix müsste demnach so lauten:
[mm] \pmat{ a & -b \\ b & a } [/mm] * [mm] \vektor{c \\ d}
[/mm]
Ist das Ok so?
Gruß
|
|
|
| |
|
Sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
|
| |
|
Hallo Tyksie,
kannst du mir verraten, wie du auf deine Matrix gekommen bist? Ich hatte nämlich
[mm] \pmat{ a & -b \\ ib & ia } [/mm] rausbekommen, bis auf die i ja das gleiche.
Hm - grübel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi
Es soll ja ein Vektor rauskommen der zeigt dass die Multiplikation im koplexen richtig ist sozusagen als nachweis...
Dann sollen wir ja eine Matrix bestimmen bzgl der Stanardbasis. Da hab ich raus: [mm] \pmat{ ac-bd & 0 \\ 0 & bc+ad }
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
Hm, kann leider noch nicht ganz nachvollziehen, wie du auf diese matrix gekommen bist. Steh hier grad irgendwie was aufm Schlauch. Vielleicht kannst du mir dazu noch was schreiben?
Wie kommst du dann danach auf die andere Matrix?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi
Übrigens hast du was zu der c) 2. Teilaufgabe??
Gruß
|
|
|
| |
|
Nein zu dem teil c habe ich leider noch nichts - bin da am grübeln, aber bekomme da nix hin. Und du?
|
|
|
|
