Abbild. Menge auf sich selbst < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei M eine endliche Menge und $f : M [mm] \rightarrow [/mm] M$ eine Abbildung. Zeigen Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f surjektiv ist.
Gilt dies auch wenn M nicht endlich ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
An sich, find ich diese Aufgabe nicht allzu schwer zu verstehen. Man kann sich das ja wunderbar aufmalen und quasi geometrisch zeigen. Nun sollen wir das aber richtig mathematisch Beweisen.
Das sollte doch sicherlich indirekt funktionieren, indem ich annehme, dass ein Element der Menge doppelt "getroffen" wird, und daraus einen Widerspruch ableite.
Doch wie schreibe ich das ganze richtig auf?
Über einen Ansatz wäre ich sehr dankbar :)
|
|
| |
|
> Sei M eine endliche Menge und [mm]f : M \rightarrow M[/mm] eine
> Abbildung. Zeigen Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn
> f surjektiv ist.
> Gilt dies auch wenn M nicht endlich ist?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Das sollte doch sicherlich indirekt funktionieren, indem
> ich annehme, dass ein Element der Menge doppelt "getroffen"
> wird, und daraus einen Widerspruch ableite.
Nee, nee! Wenn Du "injektiv ==> surjektiv" indirekt beweisen wolltest, müßtest Du annehmen, daß die Funktion injektiv ist, aber nicht surjektiv, daß es also einen Wert in M gibt, der nicht getroffen wird, und dies zum Widerspruch führen.
Aber "nicht getroffen" läßt sich nicht gut handhaben, finde ich.
ich würd's eher direkt angehen.
M ist endlich. Also gibt es paarweise verschiedene Elemente [mm] x_1,..., x_n [/mm] mit
[mm] M:=\{x_1, ..., x_n\}.
[/mm]
Betrachte die Bildmenge. Es ist f(M) [mm] \subseteq [/mm] M.
Betrachte [mm] f(M)=\{f(x_1), ..., f(x_n)\}
[/mm]
Angenommen, es gibt [mm] x_i \not= x_j [/mm] mit
[mm] f(x_i)=f(x_j) [/mm] ==> ??? Widerspruch.
Also sind die [mm] f(x_i), f(x_j) [/mm] verschieden für [mm] x_i \not= x_j [/mm] .
Also ist |f(M)|=|M| =n und wegen f(M) [mm] \subseteq [/mm] M sind die Mengen somit gleich.
Man sieht hier direkt im Beweis, daß die Endlichkeit von M eine wichtige Rolle spielt.
Findest Du eine Abb von [mm] \IN [/mm] ----> [mm] \IN, [/mm] die injektiv ist, aber nicht surjektiv?
An der Rückrichtung versuch Dich erstmal selbst. Wenn's Probleme gibt: fragen...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
