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Abbildung: Bild und Urbild
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Sa 29.03.2014
Autor: einstudent

Aufgabe
Sei U = {-3,-2,-1,0,1,2,3}. Bestimmen Sie f(U) : = {f(u) | uEU}, und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente f(U).

Oben abgebildet ist eine Aufgabe aus meinem Uniskript. Dort gibt es leider keine Beispielaufgabe.

Ich würde antworten f(u) =u. Die Urbildmenge ist dann u={uEU|(UEZ|-4<U<4)}

Wenn mein Ansatz schlecht oder falsch ist könnte mir bitte jemand posten wie man bei so einer Frage formal richtig antwortet.



        
Bezug
Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Sa 29.03.2014
Autor: angela.h.b.


> Sei U = {-3,-2,-1,0,1,2,3}. Bestimmen Sie f(U) : = {f(u) |
> uEU}

Hallo,

man könnte Dir bei der Aufgabe etwas besser helfen, wenn Du mal sagen würdest, um welche Funktion f es hier gehen soll.

LG Angela


>  und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente
> f(U).
>  Oben abgebildet ist eine Aufgabe aus meinem Uniskript.
> Dort gibt es leider keine Beispielaufgabe.
>
> Ich würde antworten f(u) =u. Die Urbildmenge ist dann
> u={uEU|(UEZ|-4<U<4)}
>  
> Wenn mein Ansatz schlecht oder falsch ist könnte mir bitte
> jemand posten wie man bei so einer Frage formal richtig
> antwortet.
>  
>  


Bezug
        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:53 So 30.03.2014
Autor: angela.h.b.


> Sei U = {-3,-2,-1,0,1,2,3}. Bestimmen Sie f(U) : = {f(u) | uEU}, und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente
> f(U).
>  Oben abgebildet ist eine Aufgabe aus meinem Uniskript.
> Dort gibt es leider keine Beispielaufgabe.
>
> Ich würde antworten f(u) =u. Die Urbildmenge ist dann
> u={uEU|(UEZ|-4<U<4)}
>  
> Wenn mein Ansatz schlecht oder falsch ist könnte mir bitte
> jemand posten wie man bei so einer Frage formal richtig
> antwortet.
>  
>  

Hallo,

wie gesagt bräuchten wir die Funktion, wenn wir Dir speziell bei dieser Aufgabe helfen sollen.


Ich mache jetzt mal ein Beispiel, anhand dessen Du Deine eigene Aufgabe wahrscheinlich lösen kannst:

wir betrachten

[mm] f:\IR\to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=x^2. [/mm]

Es sei [mm] U:=\{-3, 3, 4\}. [/mm]

f(U), das Bild von U unter der Abbildung f, ist definiert als [mm] f(U)=\{f(u)|u\in U\}. [/mm]
Es ist die Menge, in der die Funktionswerte der Elemente aus U versammelt sind.
Also: [mm] f(U)=\{f(-3), f(3), f(4)\}=\{9, 16\}. [/mm]

Nun zum Urbild.
Sei M eine Menge.
Das Urbild von M, [mm] f^{-1}(M) [/mm] enthält alle Elemente des Definitionsbereiches, welche auf Elemente aus M abgebildet werden.
Für [mm] M:=\{-5,0,1\} [/mm] ist [mm] f^{-1}(M)=\{0,-1,1\}, [/mm]

und es ist hier [mm] f^{-1}(f(U))=f^{-1}(\{9, 16\})=\{-4,-3,3,4\}. [/mm]
Hieran siehst Du, daß [mm] f^{-1}(f(U)) [/mm] i.a. nicht dieselbe Menge ist wie U.

LG Angela




Bezug
                
Bezug
Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 So 30.03.2014
Autor: einstudent

Hallo Angela, danke für die Hinweise.

Ich habs probiert zu lösen. Könntest Du nochmal drüber schaun, bitte.

LG einstudent


> wie gesagt bräuchten wir die Funktion, wenn wir Dir
> speziell bei dieser Aufgabe helfen sollen.

Aufgabe

Sei [mm] {f}:\IZ\to\IZ [/mm] definiert durch [mm] {f}(z)=|z\z| [/mm] für alle [mm] {z\in\IZ}. [/mm]
Dabei ist [mm] |z\z|=z [/mm] falls [mm] z\ge0 [/mm] und [mm] |z\z|=-z [/mm] falls [mm] z\<<0. [/mm]

1. Untersuchen Sie, ob [mm] {f}\: [/mm] surjektiv beziehungsweise injektiv ist.

2. Sei [mm] U\U [/mm] = [mm] \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}. [/mm] Bestimmen Sie [mm] {f}(U):=\{f(u)|u\in{U}\}, [/mm] und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente [mm] {f}{(U)}\. [/mm]

3. Sei [mm] V\V [/mm] = [mm] \{-10,-5,0,10,15\}. [/mm] Sei [mm] W\W [/mm] die Menge der Urbilder der Elemente in [mm] V\: [/mm] unter [mm] {f}\:. [/mm] Bestimmen Sie die Elemente in [mm] W\: [/mm] und in [mm] {f}(W):=\{f(u)|u\in{U}\}, [/mm]


Zu 2. müßte demnach die Menge der Bilder [mm] {f}(U)=\{0,1,2,3\} [/mm] sein.
Zu 3. müßte demnach die Menge der Bilder [mm] {f}(W)=\{0,10,15\} [/mm] sein.


Das Urbild zu 2.:

> Sei M eine Menge.
> Das Urbild von M, [mm] f^{-1}(M) [/mm] enthält alle Elemente des
> Definitionsbereiches, welche auf Elemente aus M abgebildet werden.

Für [mm] M:=\{0,1,2,3\} [/mm] ist [mm] f^{-1}(M)=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}, [/mm]


Das Urbild zu 3.:
Sei [mm] W\W [/mm] die Menge der Urbilder der Elemente in [mm] V\: [/mm] unter [mm] {f}\:. [/mm]
Für [mm] V:=\{0,10,15\} [/mm] ist [mm] f^{-1}(V)=W=\{-10,0,10,15\}, [/mm]


Zu 1. habe ich angenommen:  

Die Abbildung ist surjektiv.  
Es ist [mm] {f}(-z)=|-z\z|=-(-z)=z [/mm] .
Jedes [mm] {z\in\IZ} [/mm] besitzt mindestens ein Urbild unter [mm] {f}\: [/mm]

Die Abbildung ist nicht injektiv,
Es ist [mm] {f}(-1)=|-1\1|=-(-1)=1 [/mm]
und [mm] {f}(1)=|1\1|=(1)=1. [/mm]

-1 und 1 sind verschiedene Elemente in [mm] {\IZ} [/mm]




Bezug
                        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 So 30.03.2014
Autor: ne1

Hallo, bin zwar keine Angela.

1. Suriektivität: Kannst du ein $z$ finden, so dass $f(z) = -1$?

Injektivität: richtig.


2 sieht, meiner Meinung nach, richtig aus.


3. Wieso ist $-15$ kein Element von $W$?

> Hallo Angela, danke für die Hinweise.
>  
> Ich habs probiert zu lösen. Könntest Du nochmal drüber
> schaun, bitte.
>  
> LG einstudent
>  
>
> > wie gesagt bräuchten wir die Funktion, wenn wir Dir
> > speziell bei dieser Aufgabe helfen sollen.
>  
> Aufgabe
>  
> Sei [mm]{f}:\IZ\to\IZ[/mm] definiert durch [mm]{f}(z)=|z\z|[/mm] für alle
> [mm]{z\in\IZ}.[/mm]
> Dabei ist [mm]|z\z|=z[/mm] falls [mm]z\ge0[/mm] und [mm]|z\z|=-z[/mm] falls [mm]z\<<0.[/mm]
>  
> 1. Untersuchen Sie, ob [mm]{f}\:[/mm] surjektiv beziehungsweise
> injektiv ist.
>  
> 2. Sei [mm]U\U[/mm] = [mm]\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}.[/mm] Bestimmen Sie
> [mm]{f}(U):=\{f(u)|u\in{U}\},[/mm] und bestimmen Sie die Menge der
> Urbilder der Elemente [mm]{f}{(U)}\.[/mm]
>
> 3. Sei [mm]V\V[/mm] = [mm]\{-10,-5,0,10,15\}.[/mm] Sei [mm]W\W[/mm] die Menge der
> Urbilder der Elemente in [mm]V\:[/mm] unter [mm]{f}\:.[/mm] Bestimmen Sie die
> Elemente in [mm]W\:[/mm] und in [mm]{f}(W):=\{f(u)|u\in{U}\},[/mm]
>
>
> Zu 2. müßte demnach die Menge der Bilder
> [mm]{f}(U)=\{0,1,2,3\}[/mm] sein.
>  Zu 3. müßte demnach die Menge der Bilder
> [mm]{f}(W)=\{0,10,15\}[/mm] sein.
>  
>
> Das Urbild zu 2.:
>  > Sei M eine Menge.

>  > Das Urbild von M, [mm]f^{-1}(M)[/mm] enthält alle Elemente des

> > Definitionsbereiches, welche auf Elemente aus M abgebildet
> werden.
>  Für [mm]M:=\{0,1,2,3\}[/mm] ist [mm]f^{-1}(M)=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\},[/mm]
>  
>
> Das Urbild zu 3.:
>  Sei [mm]W\W[/mm] die Menge der Urbilder der Elemente in [mm]V\:[/mm] unter
> [mm]{f}\:.[/mm]
>  Für [mm]V:=\{0,10,15\}[/mm] ist [mm]f^{-1}(V)=W=\{-10,0,10,15\},[/mm]
>  
>
> Zu 1. habe ich angenommen:  
>
> Die Abbildung ist surjektiv.  
> Es ist [mm]{f}(-z)=|-z\z|=-(-z)=z[/mm] .
> Jedes [mm]{z\in\IZ}[/mm] besitzt mindestens ein Urbild unter [mm]{f}\:[/mm]
>  
> Die Abbildung ist nicht injektiv,
> Es ist [mm]{f}(-1)=|-1\1|=-(-1)=1[/mm]
>  und [mm]{f}(1)=|1\1|=(1)=1.[/mm]
>  
> -1 und 1 sind verschiedene Elemente in [mm]{\IZ}[/mm]
>
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Mo 31.03.2014
Autor: einstudent


> 1. Suriektivität: Kannst du ein [mm]z[/mm] finden, so dass [mm]f(z) = -1[/mm]?
>  
> Injektivität: richtig.

[mm]f(z) = -1[/mm] ist kein Bild von [mm] {f}(z)=|z\z| [/mm] . Bei Surjektivität wird jedem Bild mindestens ein Urbild zugeordnet. Die Urbilder von [mm]f(z) = 1[/mm] sind damit {-1,1}, oder?

[mm] {f}(z)=|z\z| [/mm] ist doch ganz ähnlich wie die surjektive [mm] {f}(z)=z^{2}. [/mm]

???



> 3. Wieso ist [mm]-15[/mm] kein Element von [mm]W[/mm]?

Weil ich es übersehen habe. Vielen Dank ne1!



Bezug
                                        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Mo 31.03.2014
Autor: angela.h.b.


> > 1. Suriektivität: Kannst du ein [mm]z[/mm] finden, so dass [mm]f(z) = -1[/mm]?
>  
>  [mm]f(z) = -1[/mm] ist kein Bild von [mm]{f}(z)=|z\z|[/mm] .

Hallo,

Du möchtest sicher sagen, daß es kein [mm] z\in\IR [/mm] gibt mit f(z)=-1.

>  Bei
> Surjektivität wird jedem Bild mindestens ein Urbild
> zugeordnet.

Nein.
Jedes Element der Zielmenge wird mindestens einem Element des Definitionsbereiches zugeordnet.

> Die Urbilder von [mm]f(z) = 1[/mm] sind damit {-1,1},
> oder?

Es ist [mm] f^{-1}(1)=\{1,-1\}. [/mm]

>  
> [mm]{f}(z)=|z\z|[/mm] ist doch ganz ähnlich wie die surjektive
> [mm]{g}(z)=z^{2}.[/mm]
>  
> ???

[mm] g:\IZ\to\IZ [/mm] mit
[mm] g(z):=z^2 [/mm]

ist nicht surjektiv.


Surjektiv ist

[mm] h:\IZ\to\IN_0 [/mm] mit
[mm] h(z):=z^2 [/mm]

LG Angela

Bezug
                                                
Bezug
Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Mi 02.04.2014
Autor: einstudent


> >  Bei

> > Surjektivität wird jedem Bild mindestens ein Urbild
> > zugeordnet.
>
> Nein.
>  Jedes Element der Zielmenge wird mindestens einem Element
> des Definitionsbereiches zugeordnet.

Nur noch mal zum Verständnis:
Die Zielmenge sind die Bilder. Die diesen zugeordneten Elemente des Definitionsbereichs sind die Urbilder. Richtig?


  

> Surjektiv ist
>  
> [mm]h:\IZ\to\IN_0[/mm] mit
>  [mm]h(z):=z^2[/mm]


Surjektiv ist dann auch
  
[mm]h:\IZ\to\IN_0[/mm] mit
[mm] {f}(h)=|h\h| [/mm]

Das stimmt jetzt hoffentlich

LG einstudent

Bezug
                                                        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Mi 02.04.2014
Autor: angela.h.b.


> > >  Bei

> > > Surjektivität wird jedem Bild mindestens ein Urbild
> > > zugeordnet.
> >
> > Nein.
>  >  Jedes Element der Zielmenge wird mindestens einem
> Element
> > des Definitionsbereiches zugeordnet.
>  
> Nur noch mal zum Verständnis:
>  Die Zielmenge sind die Bilder. Die diesen zugeordneten
> Elemente des Definitionsbereichs sind die Urbilder.
> Richtig?

Hallo,

machen wir ein Beispiel.

Sei
[mm] N:=\{1,2,3\}, [/mm]
[mm] M:=\{5,6,7,8,9\}, [/mm]

und [mm] f:N\to [/mm] M mit
f(1):=5
f(2):=5
f(3):=6.

N ist der Definitionsbereich,
M die Zielmenge,
das Bild von N, f(N) ist [mm] f(N)=\{5,6\}. [/mm]

[mm] f^{-1}(M)=N, [/mm]
[mm] f^{-1}(\{5,6\})=N. [/mm]


>  
>
>
>
> > Surjektiv ist
>  >  
> > [mm]h:\IZ\to\IN_0[/mm] mit
>  >  [mm]h(z):=z^2[/mm]
>  
>
> Surjektiv ist dann auch
>    
> [mm]h:\IZ\to\IN_0[/mm] mit
>  [mm]{f}(h)=|h\h|[/mm]

Ja.

LG Angela

>  
> Das stimmt jetzt hoffentlich
>  
> LG einstudent


Bezug
                                                                
Bezug
Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Do 03.04.2014
Autor: einstudent


> Hallo,
>  
> machen wir ein Beispiel.
>  
> Sei
> [mm]N:=\{1,2,3\},[/mm]
>  [mm]M:=\{5,6,7,8,9\},[/mm]
>  
> und [mm]f:N\to[/mm] M mit
>  f(1):=5
>  f(2):=5
>  f(3):=6.
>  
> N ist der Definitionsbereich,
>  M die Zielmenge,
>  das Bild von N, f(N) ist [mm]f(N)=\{5,6\}.[/mm]
>  
> [mm]f^{-1}(M)=N,[/mm]
>  [mm]f^{-1}(\{5,6\})=N.[/mm]
>  
>

Danke für das Beispiel Angela.

Deine Abbildung müßte surjektiv sein.

Bezug
                                                                        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Do 03.04.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

> > Hallo,
> >
> > machen wir ein Beispiel.
> >
> > Sei
> > [mm]N:=\{1,2,3\},[/mm]
> > [mm]M:=\{5,6,7,8,9\},[/mm]
> >
> > und [mm]f:N\to[/mm] M mit
> > f(1):=5
> > f(2):=5
> > f(3):=6.
> >
> > N ist der Definitionsbereich,
> > M die Zielmenge,
> > das Bild von N, f(N) ist [mm]f(N)=\{5,6\}.[/mm]
> >
> > [mm]f^{-1}(M)=N,[/mm]
> > [mm]f^{-1}(\{5,6\})=N.[/mm]
> >
> >

>

> Danke für das Beispiel Angela.

>

> Deine Abbildung müßte surjektiv sein.

Nein, wie das?

Es müsste dann zu jedem [mm]m\in M[/mm] ein [mm]n\in N[/mm] geben mit [mm]f(n)=m[/mm]

Wie sieht es denn mit [mm]m=7[/mm] (oder [mm]m=8, m=9[/mm]) aus?

Welches [mm]n\in N[/mm] wird darauf abgebildet?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                                                
Bezug
Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Sa 05.04.2014
Autor: einstudent

Die Abbildungen werden mir nach Angelas Beispielen und Deiner Vertiefung schachuzipus allmählich klar.

Vielen Dank für Eure Hilfe und Geduld.

LG einstudent

Bezug
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