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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Piatty |
| Aufgabe | Sei M eine nichtleere endliche Menge. Sei f : M [mm] \to [/mm] M eine Abbildung. Zeigen Sie:
i) Ist f surjektiv, so ist f injektiv
ii) Ist f injektiv, so ist f surjektiv
iii) Geben Sie Beispiele an, welche zeigen, dass sowohl Aussage i) als auch Aussage ii) für Mengen M mit unendlich vielen Elementen falsch sind. |
Hallo,
also ich hab da mehrere Fragen.
i). wenn surjektiv bedeutet, dass von [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{n} [/mm] keine " Lücken sind...( für jedes y existiert ein f(x)), heißt dies automatisch, dass y nicht mehrere x haben kann, die diese Forderungen erfüllen?
ii)
. injektiv bedeutet ja das [mm] f(x_{1}) \not= f(x_{2}). [/mm] Aber es können doch dennoch Lücken sein, so dass es nicht surjektiv ist oder?
2. Wie beweise ich dies alles?
Danke schonmal für eure Hilfe.
LG Janika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei M eine nichtleere endliche Menge. Sei f : M [mm]\to[/mm] M eine
> Abbildung. Zeigen Sie:
>
> i) Ist f surjektiv, so ist f injektiv
> ii) Ist f injektiv, so ist f surjektiv
> iii) Geben Sie Beispiele an, welche zeigen, dass sowohl
> Aussage i) als auch Aussage ii) für Mengen M mit unendlich
> vielen Elementen falsch sind.
> Hallo,
>
> also ich hab da mehrere Fragen.
> i). wenn surjektiv bedeutet, dass von [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{n}[/mm] keine "
> Lücken sind...( für jedes y existiert ein f(x)), heißt
> dies automatisch, dass y nicht mehrere x haben kann, die
> diese Forderungen erfüllen?
f ist surjektiv bedeutet: zu jedem y [mm] \in [/mm] M gibt es ein x [mm] \in [/mm] M mit: f(x) =y oder anders ausgedrückt: f(M) = M.
>
> ii)
> . injektiv bedeutet ja das [mm]f(x_{1}) \not= f(x_{2}).[/mm] Aber
> es können doch dennoch Lücken sein, so dass es nicht
> surjektiv ist oder?
f injektiv bedeutet: aus [mm] x_2, x_2 \in [/mm] M und [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] folgt: [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2.
[/mm]
> 2. Wie beweise ich dies alles?
Sei M = { [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] } mit [mm] a_i \not= a_j [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j (i,j = 1, .., n). M hat also n Elemente.
Zu i) f ist surjektiv. Annahme: f ist nicht injektiv. Dann gibt es Indices i und j zwischen 1 und n, so, dass i [mm] \not= [/mm] j , aber [mm] f(a_i) =f(a_j). [/mm] Dann hat aber f(M) höchstens n-1 Elemente, im Widerspruch zu f(M)=M.
Nun versuch Dich mal an ii)
FRED
>
> Danke schonmal für eure Hilfe.
>
> LG Janika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Piatty |
aber injektiv heißt doch das [mm] f(x_{1} \not= f(x_{2} [/mm] ist... hast du dich nur verschrieben oder hab ich etwas komplett falsches gelernt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> aber injektiv heißt doch das [mm]f(x_{1} \not= f(x_{2}[/mm] ist...
> hast du dich nur verschrieben
Nein , ich habe geschrieben:
f injektiv, wenn
(1) aus $ [mm] x_2, x_2 \in [/mm] $ M und $ [mm] f(x_1) [/mm] $ = $ [mm] f(x_2) [/mm] $ folgt: $ [mm] x_1 [/mm] $ = $ [mm] x_2. [/mm] $
Du hast es wahrscheinlich so gelernt:
f injektiv, wenn
(2) aus $ [mm] x_2, x_2 \in [/mm] $ M und [mm] x_1 \not= x_2 [/mm] folgt: $ [mm] f(x_1) [/mm] $ [mm] \not= [/mm] $ [mm] f(x_2). [/mm] $
Aber (1) und (2) sind äquivalente Aussgen !
FRED
> oder hab ich etwas komplett
> falsches gelernt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Piatty |
zur ii)
Sei [mm] M={a_{1},..., a_{n}} [/mm] mit [mm] a_{i} \not= a_{j} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j (i,j=1,...n)
M hat also n Elemente.
f ist injektiv
Annahme: f ist nicht surjektiv
i un j Indices zischen 1 und n ( [mm] \not= [/mm] j)
aber: f(x) [mm] \not= [/mm] y, daraus folgt das f(M) höchstens n-1 Elemente hat. Das ist wieder ein Widerspruch zu f(M) = M.
Ist das soweit richtig? oder habe ich hier einen Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> zur ii)
>
> Sei [mm]M={a_{1},..., a_{n}}[/mm] mit [mm]a_{i} \not= a_{j}[/mm] für i [mm]\not=[/mm]
> j (i,j=1,...n)
> M hat also n Elemente.
> f ist injektiv
>
> Annahme: f ist nicht surjektiv
> i un j Indices zischen 1 und n ( [mm]\not=[/mm] j)
> aber: f(x) [mm]\not=[/mm] y, daraus folgt das f(M) höchstens n-1
> Elemente hat. Das ist wieder ein Widerspruch zu f(M) = M.
>
> Ist das soweit richtig? oder habe ich hier einen
> Denkfehler?
So kann man das nicht machen !
Sei f injektiv. Dann hat f(M) n Elemente. Wegen f(M) [mm] \subseteq [/mm] M, folgt: f(M) = M
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Piatty |
wie setze ich denn dann an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> wie setze ich denn dann an?
Ich habs Dir doch vorgemacht:
Sei f injektiv. Dann hat f(M) n Elemente. Wegen f(M) $ [mm] \subseteq [/mm] $ M, folgt: f(M) = M , also ist f surjektiv
FRED
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