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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
f: [mm] \IZ \to \IZ [/mm] definiert durch f(x)=x+1 für alle x [mm] \in \IZ [/mm] .
Für welche Abbildungen g: [mm] \IZ \to \IZ [/mm] gilt g [mm] \circ [/mm] f = f [mm] \circ [/mm] g ?
So weit bin ich bereits gekommen:
f muß bijektiv sein, dass ein Umkehrabbildung existiert.
Sei f(x1)=f(x2)
g(f(x1))=f(g(x2))
g(x2)=f(g(x2))
x1=x2
also Injektivität bewiesen.
Jedoch weiß ich nun nicht wie ich die Surjektivität beweisen soll.
Bitte helft mir, es ist sehr dringend. Ich brauche es morgen und komme einfach nicht weiter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 Mi 17.11.2004 | | Autor: | baskolii |
Hi!
Ich glaub so:
Sei [mm] z\in\IZ [/mm] bel., aber fest. Dann ist z-1 ebenfalls eine ganze Zahl und f(z-1)=z.
Da z bel. wird auf jede ganze Zahl abgebildet.
mfg Verena
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Ich behaupte, das gilt für alle Funktionen [mm] g_{z}; z\in\IZ [/mm] mit [mm] g_{z}(x) [/mm] = z+x
Beweis:
Für [mm] z\in\IZ [/mm] gilt: [mm] f(g_{z}(x))=f(z+x)=z+x+1=g_{z}(x+1)=g_{z}(f(x))
[/mm]
Ist umgekehrt g eine Funktion mit gf=fg.
Dann gilt:
f(g(x))=g(x)+1
g(f(x))=g(x+1), also g(x)+1=g(x+1)
Durch Induktion kann man dann beweisen (das ist sehr einfach):
g(x)=g(0)+x
mit z=g(0) gilt also [mm] g=g_{z}
[/mm]
Damit ist die Behauptung bewiesen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Aufgabe richtig verstehe...
> ich habe folgende Aufgabe:
> f: [mm]\IZ \to \IZ[/mm] definiert durch f(x)=x+1 für alle x [mm]\in \IZ[/mm]
> .
>
> Für welche Abbildungen g: [mm]\IZ \to \IZ[/mm] gilt g [mm]\circ[/mm] f = f
> [mm]\circ[/mm] g ?
>
>
> So weit bin ich bereits gekommen:
> f muß bijektiv sein, dass ein Umkehrabbildung existiert.
f ist doch gegeben, und wie man sieht, ist f auch bijektiv. Aber wofür glaubst du das zu brauchen?
>
> Sei f(x1)=f(x2)
> g(f(x1))=f(g(x2))
> g(x2)=f(g(x2))
> x1=x2
> also Injektivität bewiesen.
Welche Injektivität beweist du hier? Die von f? Von g? Von f°g???
Also, ich glaube, so etwas brauchst du alles gar nicht, vielleicht schafft man einen Ansatz mit ein bisschen überlegen - man probiert einfach ein paar Funktionen g und guckt, was passiert. Wenn dann f°g=g°f guckt man, was passiert, wenn man g ein kleines bisschen ändert, ob dann immer noch f°g=g°f.
Vielleicht hilft dir das ja wenigstens ein bisschen.
Viele Grüße
Bastiane ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Matti66 |
Hallo!
Ich kann hier Bastiane nur zustimmen.
So richtig verstehe ich die Aufgabe auch nicht. In der Linearen Algebra gibt es einen Satz über die Bijektivität invertierbarer Abbildungen. Vielleicht ist es das was du meinst und dein g ist nur die Umkehrabbildung von f. Vielleicht wären noch einige Hinweise nützlich.
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Um das ganze nicht mißzuverstehen. Gefragt ist hier nach einer Funktion mit fg=gf nicht nach der Inversen!
Für die Inverse muß gelten fg=gf=1, wobei 1 die funtion ist, die x auf x abbildet.
Aber gefragt ist nicht nach einer Inversen, sondern nach einer Funktion für die fg=gf gilt. Und dieser gibt es mehrere! Nur eine (das ist der Eindeutigkeitssatz der Inversen) ist die Inverse, nämlich die Abbildung g(x)=x-1. Die anderen sind KEINE Inversen, aber für sie gilt fg=gf
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