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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Mo 09.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Gesucht ist jeweils ein Beispiel für zwei Abbildungen [mm] f, g [/mm] mit
1) [mm] f,g : \IZ \to \IZ [/mm] so dass Bild ([mm] f \circ g [/mm] ) eine endliche Menge und Bild ([mm] g \circ f [/mm] ) eine unendliche Menge ist.
2) [mm] f,g : \IZ \to \IZ [/mm] so dass [mm] f \circ g [/mm] injektiv und [mm] g \circ f [/mm] nicht injektiv ist.
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Vorab: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lösungsvorschlag
1) [mm] f(x) [/mm] = 1, [mm] g(x) [/mm] = x
Dann ist ([mm] f \circ g [/mm] = [mm] f(g(x)) = f(x) [/mm] = 1. Da die Lösungsmenge immer {1} ist, ist die Menge endlich.
Aber [mm] g \circ f [/mm] ist, glaube ich, auch immer 1 ?
2) [mm] g(x) = \wurzel{x} [/mm] und [mm] f(x) = x^2 [/mm]
Dann ist [mm] g \circ f [/mm] = [mm] g(f(x)) = g(x^2) = \wurzel{x}^2 [/mm] und geht nur für alle x => 0 und ist somit nicht injektiv.
Und [mm] f \circ g = f (\wurzel{x}) = \wurzel{x^2} [/mm] geht für jedes x und jedes x hat ein Urbild und ist somit injektiv.
Stimmen diese Überlegungen bzw. was muss ich bei 1. machen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mo 09.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine Überlegung bei 1) ist richtig, wenn ein Funktion als Bild von Z immer nur eine endliche Menge hat, dann wird das Bild auch endlich sein, wenn du sie zuerst ausführst.
du musst dir also eine Funktion f überlegen, die einen Teil (aber unendlich viele) Elemente auf "1" abbildet aber den anderen Teil nicht.
die Funktion g muss dann aus Z gerade den ersten Teil als Bild haben.
Dann ist f(g(z))=1 ,aber g(f(z)) nicht nur 1, denn f bildet ja den zweiten Teil nicht auf eine endliche Menge ab...
bei deienr 2) darfst du nicht einfach die Wurzel nehmen ,denn die Funktion soll ja von Z nach Z gehen (und 2 hat keine Wurzel in Z)
hier wäre ein ähnlicher ansatz wie oben einfach, also lass f einen unendlichen Teil injektiv abbilden und einen unendlichen auf "1", dann muss g dafür sorgen, dass als Bild der erste unendliche Teil injektiv getroffen wird (z.B g(z)=2*z liefert immer injektiv gerade zahlen)
(was passiert dann wenn man f und g umdreht?)
viele grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mo 09.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
Hallo DaMenge,
VIELEN DANK für Deine schnelle Hilfe.
Meine Überlegungen basieren jetzt auf der Voraussetzung, dass man folgendes definieren darf:
[mm] f(z) = 1 [/mm] falls [mm] z >= 0 [/mm] und
[mm] f(z) = z [/mm] falls [mm] z < 0 [/mm]
Geht das ?
Zusammen mit [mm] g(z) = |z| [/mm]
bildet [mm] f \circ g [/mm] immer die 1 ab und [mm] g \circ f [/mm] bildet eine unendliche Menge ab.
Zu 2)
[mm] f(z) = 1 [/mm] falls z ungerade
[mm] f(z) = z [/mm] falls z gerade oder 0
[mm] g(z) = 2z [/mm]
Dann würde [mm] f \circ g [/mm] injektiv abbilden und
[mm] g \circ f [/mm] nicht injektiv (z.B. 1 und -1 bilden auf 2 ab).
Stimmen meine Überlegungen ?
Viele Grüsse, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Mo 09.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Susanne,
sieht alles richtig aus ! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mo 09.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
Super, VIELEN VIELEN DANK !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 11.10.2006 | | Autor: | diego |
Hallo Susanne,
habe versucht dein Beispiel für die endlichen/unendlichen Mengen nachzuvollziehen.
Hab noch eine Frage dazu,
warum bildet f°g immer 1 ab?
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist doch (f°g)(z)=f(g(z))=f(z), aber f(z) kann doch auch z sein, oder nicht??? Und dann würde es doch nicht immer auf eins abgebildet werden, oder?
Gruß Yvonne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mi 11.10.2006 | | Autor: | statler |
Hey Yvonne!
> habe versucht dein Beispiel für die endlichen/unendlichen
> Mengen nachzuvollziehen.
> Hab noch eine Frage dazu,
> warum bildet f°g immer 1 ab?
> Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist doch
> (f°g)(z)=f(g(z))=f(z),
Nicht ganz! Es ist = f(|z|), das heißt, das Argument ist immer [mm] \ge [/mm] 0, und damit ist das Bild des Arguments immer 1.
> aber f(z) kann doch auch z sein,
> oder nicht??? Und dann würde es doch nicht immer auf eins
> abgebildet werden, oder?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mi 11.10.2006 | | Autor: | diego |
Ach so, dann versteh ich das auch. Danke!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mo 09.10.2006 | | Autor: | diego |
Habe die selben Aufgaben erhalten und auch Probleme genau zu wissen wie eine Lösung aussehen soll. Hast du die anderen Aufgaben so lösen können?
Gruß Yvonne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 10.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Yvonne,
ich tue mich sehr schwer, aber dank der Hilfe in diesem Forum kann ich mich ganz langsam vorantasten. Die Unterlagen reichen mir als Information nicht aus. Ich muss mir viel an Erklärung aus dem Internet ziehen. Das kostet sehr viel Zeit !
Bin gerade erste bei dieser Aufgabe und weiss noch nicht, wie es weiter läuft, ob ich mit den anderen Aufgaben selber klar komme.
Gruss, Susanne.
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