Abbildung, Linksinveres < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Di 02.11.2004 | | Autor: | MrPink |
Hallo, kann mir jemand bei der folgende aufgabe helfen:
Seien M,N endlich Mengen f: M nach N eine Abbildung
1. Wieviele Linksinverse besitzt f, falls f eine injektive Abbildung ist ?
Behandle zuerst das Beispiel M = {1,2,3}, N = {1,2,3,4,5} und f: M auf N : m auf m die Einbettung.
2. Wievile Rechtsinverse besitzt f, falls f eine surjektive Abbildung ist ?
Dank im Voraus
Habe die selber Frage schon auf www.emath.de gestelt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 02.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo MrPink!
> Seien M,N endlich Mengen f: M nach N eine Abbildung
>
> 1. Wieviele Linksinverse besitzt f, falls f eine injektive
> Abbildung ist ?
> Behandle zuerst das Beispiel M = {1,2,3}, N = {1,2,3,4,5}
> und f: M auf N : m auf m die Einbettung.
$g$ ist ja auf dem Bild von $f$ eindeutig festgelegt durch die Bedingung
$g(f(m)) = m$
für alle $m [mm] \in [/mm] M$.
Auf $N [mm] \setminus [/mm] f(M)$ kann $g$ beliebig gesetzt werden (also auf irgendeines der Elemente aus $M$ abgebildet werden). Wegen [mm] $\vert [/mm] N [mm] \setminus f(M)\vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] N [mm] \vert [/mm] - [mm] \vert f(M)\vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] N [mm] \vert [/mm] - [mm] \vert [/mm] M [mm] \vert$ [/mm] gibt es also
[mm] $\red{\vert M \vert ^{\vert N \vert - \vert M \vert }}$ [/mm] (verbessert!)
Linksinverse von $f$, wenn $f$ injektiv ist.
Die Anzahl der Rechtsinversen bei surjektivem $f$ ist auf den ersten Blick schwieriger und mir im so hundertprozentig gerade selber nicht klar. Da muss ich erst weiter drüber nachdenken, vielleicht hat ja auch jemand anderes eine Idee? Für mich scheint es im Moment davon abzuhängen, wie viele Urbilder die Elemente aus $N$ unter $f$ haben.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Di 02.11.2004 | | Autor: | MrPink |
Hallo, mir leuchtet dass irgendwie nicht so ganz ein.
Wenn ich z.B.: M = {1,2,3} und N = {1,2,3} habe , dann käme bei dir
[mm] (3-3)^3 [/mm] = 0 raus. Das kann doch nicht oder? ich bin zur vermutugn gekommen . dass es (| M |)! ist. Also wären es 6 Kombinationdmöglichkeiten. Was sagst du dazu? Vielleicht bin ich auch zu dämlich ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Di 02.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo MrPink!
War ein dämlicher Fehler, den ich jetzt verbessert habe. Jetzt sollte es stimmen. Danke für den Hinweis!
Ist [mm] $M=N=\{1,2,3\}$, [/mm] so gibt es nur eine Linksinverse einer injektiven (und damit bijektiven) Abbildung $f:M [mm] \to [/mm] N$.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Di 02.11.2004 | | Autor: | MrPink |
Super danke. Obwohl dass was ich geschreiben auch totaler mumpitz war. Es handelt sich bei |m|! nur um die anzahl der Möglichkeiten injektive Abbildung zu machen. Danach war ja garnicht gefragt. Deins stimmt aber jetzt auf jeden Fall. VIELEN DANK !!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 02.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es sollte eigentlich
[mm] $\prod\limits_{n \in N} \vert f^{-1}(\{n\})\vert$
[/mm]
Rechtsinverse von $f:M [mm] \to [/mm] N$ geben, wenn $f$ surjektiv ist.
Liebe Grüße
Julius
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