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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mi 16.06.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Finden Sie eine Abbildung $ f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] $ mit [mm] \\
[/mm]
$ [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda^2f(x) [/mm] $ für alle $ [mm] \lambda \in \IR, [/mm] \ x [mm] \in \IR^2 [/mm] $, die keine quadratische Form ist. |
Hallo,
$\ f $ ist ja wegen obiger Gleichung nur dann keine quadratische Form, wenn die Abbildung
$ F: [mm] \IR^2 \times \IR^2 \to \IR, [/mm] \ \ (x,y) [mm] \mapsto \frac{1}{2}\left(f(x+y)-f(x)-f(y)\right) [/mm] $ (*) keine Bilinearform ist.
Doch wie führ ich das weiter? Reicht es aus, eine solche Abbildung (*) anzugeben, die keine Bilinearform ist? Ich weiß nicht so recht, wie das Ganze richtig anzugehen ist.
Würde mich über Tipps freuen!
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 16.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Finden Sie eine Abbildung [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]\\[/mm]
>
> [mm]f(\lambda x) = \lambda^2f(x)[/mm] für alle [mm]\lambda \in \IR, \ x \in \IR^2 [/mm],
> die keine quadratische Form ist.
Solche Funktionen, die [mm] $f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda^2 [/mm] f(x)$ erfuellen, nennt man homogen von Grad 2.
> [mm]\ f[/mm] ist ja wegen obiger Gleichung nur dann keine
> quadratische Form, wenn die Abbildung
>
> [mm]F: \IR^2 \times \IR^2 \to \IR, \ \ (x,y) \mapsto \frac{1}{2}\left(f(x+y)-f(x)-f(y)\right)[/mm]
> (*) keine Bilinearform ist.
Oder anders gesagt, wenn sie nicht von der Form $f(x, y) = a [mm] x^2 [/mm] + b x y + c [mm] y^2$ [/mm] mit $a, b, c [mm] \in \IR$ [/mm] ist.
> Doch wie führ ich das weiter? Reicht es aus, eine solche
> Abbildung (*) anzugeben, die keine Bilinearform ist? Ich
> weiß nicht so recht, wie das Ganze richtig anzugehen ist.
Ueberlege dir, dass $f$ bereits durch die Werte auf $M := [mm] \{ (\cos \phi, \sin \phi) \in \IR^2 \mid \phi \in [0, \pi) \}$ [/mm] eindeutig bestimmt ist. Ueberlege dir umgekehrt, welche Funktionen $g : M [mm] \to \IR$ [/mm] sich zu einer Funktion [mm] $\IR^2 \to \IR$ [/mm] fortsetzen lassen, welche homogen von Grad 2 ist.
Dann solltest du sehr schnell eine homogene Funktion von Grad 2 finden koennen, welche keine quadratische Form ist.
LG Felix
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Hallo Felix,
> Moin!
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> > Finden Sie eine Abbildung [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]\\[/mm]
> >
> > [mm]f(\lambda x) = \lambda^2f(x)[/mm] für alle [mm]\lambda \in \IR, \ x \in \IR^2 [/mm],
> > die keine quadratische Form ist.
>
> Solche Funktionen, die [mm]f(\lambda x) = \lambda^2 f(x)[/mm]
> erfuellen, nennt man homogen von Grad 2.
>
> > [mm]\ f[/mm] ist ja wegen obiger Gleichung nur dann keine
> > quadratische Form, wenn die Abbildung
> >
> > [mm]F: \IR^2 \times \IR^2 \to \IR, \ \ (x,y) \mapsto \frac{1}{2}\left(f(x+y)-f(x)-f(y)\right)[/mm]
> > (*) keine Bilinearform ist.
>
> Oder anders gesagt, wenn sie nicht von der Form [mm]f(x, y) = a x^2 + b x y + c y^2[/mm]
> mit [mm]a, b, c \in \IR[/mm] ist.
Wie kommt das zu stande? Ich erkenne irgendwie nicht den Zusammenhang zwischen $\ f$ und $\ F $.
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> > Doch wie führ ich das weiter? Reicht es aus, eine solche
> > Abbildung (*) anzugeben, die keine Bilinearform ist? Ich
> > weiß nicht so recht, wie das Ganze richtig anzugehen ist.
>
> Ueberlege dir, dass [mm]f[/mm] bereits durch die Werte auf [mm]M := \{ (\cos \phi, \sin \phi) \in \IR^2 \mid \phi \in [0, \pi) \}[/mm]
> eindeutig bestimmt ist. Ueberlege dir umgekehrt, welche
> Funktionen [mm]g : M \to \IR[/mm] sich zu einer Funktion [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> fortsetzen lassen, welche homogen von Grad 2 ist.
>
> Dann solltest du sehr schnell eine homogene Funktion von
> Grad 2 finden koennen, welche keine quadratische Form ist.
Vielen Dank für den Tipp, aber ich hab' das Thema noch überhaupt nicht durchdrungen. Mir fällt es einfach schwer die Funktion $\ f $ mit $\ F $ sinnvoll zu verbinden.
Wenn ich das richtig verstehe, muss ich eine Abbildung $\ F $ mit $\ F(x,y) = [mm] \frac{1}{2}\left(f(x+y)-f(x)-f(y)\right)$ [/mm] finden, die keine Bilinearform ist. Genau dann ist meine erste Abbildung $\ f $ keine quadratische Form?
Ich weiß, dass sich die Abbildung $\ f $ durch $\ F(x,x) $ aus $\ F $ zurückgewinnen lässt aber ich kann es hier leider nicht auf die Aufgabe anwenden.
Was mich ebenfalls etwas verwirrt hat, war die Aussage eines Kommilitonen, dass ich eine Funktion $\ [mm] \red{f} [/mm] $ finden soll, für die zwar $\ [mm] f(\lambda [/mm] x ) = [mm] \lambda^2f(x) [/mm] $ gilt, die aber keine Bilinearform ist.
Ich dachte, dass $\ F $ keine Bilinearform sein darf.
>
> LG Felix
>
Würde mich freuen, falls mir jemand dabei helfen kann, das Ganze etwas besser zu verstehen. Auch Links zu Skripten o.ä., die das Thema gut aufrollen, wären sicher hilfreich.
Danke für Eure Antworten und verzeiht, dass ich damit noch nichts anfangen konnte.
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 21.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Do 17.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Gilt $ [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda^2f(x) [/mm] $ und ist f differenzierbar, so gilt ( beweise es !)
$f'(x)*x=2*f(x)$ für jedes x.
Vielleicht hilft Dir das beim auffinden einer Funktion f mit den gewünschten Eigenschaften
FRED
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