Abbildung auf linearität bewei < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mo 22.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Es seien die K-Vektorräume V und W, sowie die lineare Abbildung f : V → W gegeben. Zeigen Sie, dass die Abbildung:
f*: HomK(W, K) → HomK(V, K), φ [mm] \mapsto [/mm] φ ◦ f
linear ist. |
Für alle φ aus Hom(W,K)
φ ° f aus Hom(V,K) ist.
Das liegt daran, dass beide linear sind.
f*(φ_{1}+φ_{2}) = f*(φ_{1}) + f*(φ_{2}) und f*( [mm] \lambda [/mm] *φ) = [mm] \lambda [/mm] *f*(φ)
sei en also φ_{1}, φ_{2} aus Hom(W,K)
dann ist für alle x aus V.
f*( φ_{1}+φ_{2}) (x) = (φ_{1}+φ_{2}) ( f(x)) nach Def. von f*
= φ_{1}(f(x)) + φ_{2}(f(x)) nach Def. von + für Abbildungen
= f*(φ_{1})(x) + f*(φ_{2}(x)) nach Def von f*
= (f*(φ_{1})+f*(φ_{2})) (x)
stimmt!
f*( [mm] \lambda [/mm] *φ) (x) = ( [mm] \lambda [/mm] *φ) ( f(x)) nach Def. von f*
= [mm] \lambda [/mm] *φ(f(x)) nach Def. von * für Abbildungen
= f*( [mm] \lambda [/mm] *φ)(x) nach Def von f*
= (f* [mm] \lambda [/mm] *φ) (x)
stimmt!
Die Abbildung f*: HomK(W, K) → HomK(V, K), φ [mm] \mapsto [/mm] φ ◦ f ist linear!
Ist der Beweis richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Mo 22.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es seien die K-Vektorräume V und W, sowie die lineare
> Abbildung f : V → W gegeben. Zeigen Sie, dass die
> Abbildung:
>
> f*: HomK(W, K) → HomK(V, K), φ [mm]\mapsto[/mm] φ ◦ f
>
> linear ist.
>
> Für alle φ aus Hom(W,K)
> φ ° f aus Hom(V,K) ist.
> Das liegt daran, dass beide linear sind.
>
>
> f*(φ_{1}+φ_{2}) = f*(φ_{1}) + f*(φ_{2}) und f*(
> [mm]\lambda[/mm] *φ) = [mm]\lambda[/mm] *f*(φ)
> sei en also φ_{1}, φ_{2} aus Hom(W,K)
> dann ist für alle x aus V.
>
> f*( φ_{1}+φ_{2}) (x) = (φ_{1}+φ_{2}) ( f(x)) nach Def.
> von f*
> = φ_{1}(f(x)) + φ_{2}(f(x)) nach Def. von + für
> Abbildungen
> = f*(φ_{1})(x) + f*(φ_{2}(x)) nach Def von f*
> = (f*(φ_{1})+f*(φ_{2})) (x)
> stimmt!
>
> f*( [mm]\lambda[/mm] *φ) (x) = ( [mm]\lambda[/mm] *φ) ( f(x)) nach Def. von
> f*
> = [mm]\lambda[/mm] *φ(f(x)) nach Def. von * für Abbildungen
> = f*( [mm]\lambda[/mm] *φ)(x) nach Def von f*
> = (f* [mm]\lambda[/mm] *φ) (x)
> stimmt!
>
> Die Abbildung f*: HomK(W, K) → HomK(V, K), φ [mm]\mapsto[/mm] φ
> ◦ f ist linear!
>
> Ist der Beweis richtig ?
Ja
FRED
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