Abbildung definieren < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Fr 19.09.2008 | | Autor: | as77 |
| Aufgabe | Definieren Sie eine Funktion f:N->N mit folgenden Eigenschaften:
(a) f ist surjektiv
(b) die Menge der Urbilder unter f hat unendliche viele Elemente |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe.
Definieren Sie eine Funktion f:N->N mit folgenden Eigenschaften:
(a) f ist surjektiv
(b) die Menge der Urbilder unter f hat unendliche viele Elemente.
Ich hätte schon Vorschläge für eine surjektive Funktion aber ich bin mir mit den unendlich vielen Elementen nicht sicher.
Mein Vorschlag ist [mm] x^2+1 [/mm] wobei ich mir auch nicht sicher bin ob diese Funktion über N surjektiv ist.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Meinst du mit "N" die natürlichen Zahlen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Fr 19.09.2008 | | Autor: | as77 |
Ja, N sind die natürlichen Zahlen, also ohne 0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Definieren Sie eine Funktion f:N->N mit folgenden
> Eigenschaften:
>
> (a) f ist surjektiv
> (b) die Menge der Urbilder unter f hat unendliche viele
> Elemente
> Hallo,
>
> ich habe folgende Aufgabe.
>
> Definieren Sie eine Funktion f:N->N mit folgenden
> Eigenschaften:
>
> (a) f ist surjektiv
> (b) die Menge der Urbilder unter f hat unendliche viele
> Elemente.
>
> Ich hätte schon Vorschläge für eine surjektive Funktion
> aber ich bin mir mit den unendlich vielen Elementen nicht
> sicher.
>
> Mein Vorschlag ist [mm]x^2+1[/mm] wobei ich mir auch nicht sicher
> bin ob diese Funktion über N surjektiv ist.
also $f: [mm] \IN \to \IN$ [/mm] mit [mm] $f(n):=n^2+1$ [/mm] ist mit Sicherheit nicht surjektiv. Wäre diese Funktion surjektiv, so gäbe es für jedes Element $m$ aus dem Zielbereich (hier: [mm] $\IN$) [/mm] (mindestens) ein $n$ aus dem Definitionsbereich (hier: [mm] $\IN$) [/mm] mit $f(n)=m$.
Für $m:=3 [mm] \in \IN$ [/mm] müßte es dann also ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] geben mit [mm] $n^2+1=f(n)=m=3$, [/mm] also [mm] $n^2=2$. [/mm] Aber es gibt kein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $n^2=2$. [/mm] Widerspruch.
Wenn ich die Forderung (b) allerdings nicht komplett falsch verstehe (diese besagt ja, dass [mm] $\{f^{-1}(A); A \subset \IN\}$ [/mm] unendlich viele Elemente haben soll, oder missverstehe ich da etwas?), kannst Du hier aber eine sehr banale Funktion hinschreiben, die noch wesentlich einfacher ist wie die von Dir vorgeschlagene.
(Z.B. findet man eine sehr banale Funktion, so dass schon [mm] $\{f^{-1}(\{n\}); n \in \IN\}$ ($\subset \{f^{-1}(A); A \subset \IN\}$) [/mm] unendlich viele Elemente hat.)
Vorausgesetzt natürlich, dass N auch wirklich [mm] $\IN$ [/mm] meint...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Fr 19.09.2008 | | Autor: | as77 |
Die Aufgabenstellung bezieht sich auf N, da die Funktion f ja als f:N->N definiert ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Aufgabenstellung bezieht sich auf N, da die Funktion f
> ja als f:N->N definiert ist.
mir ist das schon klar, wie die Funktion gemeint ist. Aber [mm] $f^{-1}(\IN)$ [/mm] ist nicht die Menge der Urbilder unter [mm] $\black{f}$, [/mm] sondern [mm] $f^{-1}(\IN)$ [/mm] ist das Urbild von [mm] $\IN$ [/mm] unter [mm] $\black{f}$.
[/mm]
(Edit: Das war wohl ein Missverständnis meinerseits; man vgl. den Mathepedia-Link unten. Auch das von mir folgende beruht auf dem "Missverständnis". )
Also ich denke schon, dass mit dem Ausdruck "die Menge der Urbilder unter [mm] $\black{f}$" [/mm] das gemeint ist, was ich auch geschrieben habe:
[mm] $$\{f^{-1}(A); A \subset \IN\}\,.$$
[/mm]
Denn das ist eine Menge, deren Elemente gerade genau die Mengen sind, die Urbilder von [mm] $\black{f}$ [/mm] sind.
Mit anderen Worten:
Es gilt für eine Menge $R$:
$R [mm] \in \{f^{-1}(A); A \subset \IN\}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $\exists [/mm] A [mm] \subset \IN$: $R=f^{-1}(A)$.
[/mm]
Wie dem auch sei:
Egal, ob die Forderung (b) nun das meint, was ich geschrieben habe, oder das, was Du glaubst:
In beiden Fällen kann man die Identität [mm] $\IN \to \IN$ [/mm] betrachten...
P.S.:
Ich habe gerade nochmal nachgeguckt, und ich glaube, Du hast Recht. Man gebraucht den Begriff der "Menge aller Urbilder" anscheinend anders, als ich das interpretiert habe, siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier. Diese "Fehlinterpretation" hat sich wegen der Definition des "Urbildes einer Menge" (vgl. auch hier) ergeben...
P.S.:
Eine nicht (ganz) banale Funktion könntest Du auch angeben:
[mm] $f(n):=\left[\frac{n-1}{2}\right]$ [/mm] (mit der Gaußklammerfunktion), also
$f(1)=0$, $f(2)=0$, $f(3)=1$, $f(4)=1$, $f(5)=2$, $f(6)=2$, ...
P.P.S.:
Vielleicht wäre es nicht schlecht, wenn Du einen Link zu Eurem Skriptum hättest. Denn ich glaube, ihr verwendet den Begriff einer Abbildung/Funktion wahrscheinlich auch schon wieder anders, wie ich (etwas allgemeiner); z.B. verwendet ihr ihn vll. wie in dem Mathepedialink... Das ist auch ein wenig Geschmacks- bzw. Definitionssache...
(Alleine durch Vergleich der Definitionen des Begriffes "Funktion" bei Wikipedia und Mathepedia erkennt man ja schon, dass der gleiche Begriff dort unterschiedlich aufgefasst wird...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Fr 19.09.2008 | | Autor: | as77 |
Hallo,
ich kann ja mal die Definition posten:
Sei f:M->N eine Abbildung und m aus M. Man nennt f(m) das Bild von m unter f. Die Teilmenge { n aus n |es gibt ein m aus M mit f(m) = n } heißt das Bild von f und wird mit Bild(f) oder f(M) bezeichnet. Ist n in Bild(f) so wird ein m aus M mit f(m) = n ein Urbild von n unter f genannt.
Liest sich ein bisschen holprig steht aber so im Skript drin.
Hätte nicht gedacht, das es mit der Definition so viele Probleme gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich kann ja mal die Definition posten:
>
> Sei f:M->N eine Abbildung und m aus M. Man nennt f(m) das
> Bild von m unter f. Die Teilmenge { n aus n |es gibt ein m
> aus M mit f(m) = n } heißt das Bild von f und wird mit
> Bild(f) oder f(M) bezeichnet. Ist n in Bild(f) so wird ein
> m aus M mit f(m) = n ein Urbild von n unter f genannt.
>
> Liest sich ein bisschen holprig steht aber so im Skript
> drin.
>
> Hätte nicht gedacht, das es mit der Definition so viele
> Probleme gibt.
naja, das liegt am Sprachgebrauch, der hier zu Verwirrungen sorgen kann. Ich hab's daher wohl fehlinterpretiert. Ich habe halt die Menge aller Urbilder als das Mengensystem aufgefasst, dass die Menge aller, ich sage es jetzt mal so: Urbilder von Mengen unter der gegebenen Funktion enthält.
Aber gemeint ist bei Euch das, was auch bei Mathepedia steht.
Und ja, da kann es verschiedene Definitionen geben. Ich orientiere mich z.B. an diesem Skript, und wenn Du dort z.B. in Definition 1.6 guckst, siehst Du schon, dass wir den Begriff Abbildung bzw. Funktion so benutzen, dass jedes $x [mm] \in [/mm] X$ ein Bild hat. Bei Mathepedia steht diese Forderung nicht. Ich kenne sogar ältere Mathebücher, wo man Abbildungen wie bei Mathepedia auffasst (als gewisse spezielle Relationen) und der Begriff der Funktion schon wieder etwas anderes als eine Abbildung ist, nämlich eine spezielle Abbildung. Wie gesagt:
Solche Dinge sind sehr stark an die gegebene Definitionen gebunden. Allerdings muss ich sagen, dass mir seit Studienbeginn die Begriffe, wie in dem obigem Skriptum verwendet, fast stets nur so untergekommen sind. Und wenn ich mich nicht ganz täusche, werden sie so (oder auch so ähnlich) bei Wikipedia verwendet. Nichtsdestotrotz hat der Autor natürlich einen gewissen Spielraum bei der Verwendung dieser Begriffe. Ich tippe sogar mal, dass bei Euch beim Begriff der Abbildung $X [mm] \to [/mm] Y$ nirgends verlangt wird, dass jedes $x [mm] \in [/mm] X$ auch ein Bild in $Y$ hat, also dass bei Eurer Definition des Begriffes der Abbildung die Forderung 1.6 a) des obigen Skriptums nicht verlangt wird... Wobei ich darauf nur "tippe", das heißt nicht, dass ihr den Begriff der Abbildung/Funktion nicht doch genauso verwendet, wie ich es tue...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Sa 20.09.2008 | | Autor: | as77 |
Hallo,
kann ich auch die Nachfolgerfunktion nehmen:
f:N->N f(n)=n+1
also die Funktion die jedem n aus N einen Nachfolger n+1 zuordnet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> kann ich auch die Nachfolgerfunktion nehmen:
>
> f:N->N f(n)=n+1
>
> also die Funktion die jedem n aus N einen Nachfolger n+1
> zuordnet.
leider nicht, denn die ist ja nicht surjektiv. Für welche(s) $n [mm] \in \IN$ [/mm] wäre denn $f(n)=1$?
$n+1=1 [mm] \gdw [/mm] n=0$, aber $0 [mm] \notin \IN$. [/mm] Also gibt es kein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $f(n)=1$, woraus folgt, dass diese Funktion als Abbildung [mm] $\IN \to \IN$ [/mm] nicht surjektiv ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Mi 15.10.2008 | | Autor: | volkimd |
Hallo,
sorry für mich hat sich die frage nicht so richtig beantwortet. Tuhe mich auch ehrlich gesagt ein wenig schwer mit diesem Thema.
Eine Antwort hät ich schon zur Hand, weiß allerdings nicht ob ich dieses Thema tatsächlich richtig verstanden habe.
Also
> Definieren Sie eine Funktion f:N->N mit folgenden
> Eigenschaften:
> (a) f ist surjektiv
bsp f(n)=n
> (b) die Menge der Urbilder unter f hat unendliche viele
> Elemente
bsp f(n)=(n+1)-n oder f(n)=n/n
so
und nun muß mir jemand sagen ob ich an dieser Stelle auf dem richtigen Weg bin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Do 16.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die primitivste Funktion f(n)=n erfuellt alle Voraussetzungen!
f(n)=n/n dagegen nicht. sie hat ja nur ein einziges Bild, n=1
also sind deine roten Bsp. sicher falsch.
ne Andere Abbildung waere f(2n)=n sie hat alle geraden Zahlen als Urbild und alle natuerlichen zahlen als Bild.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Do 16.10.2008 | | Autor: | volkimd |
Oh man. Irgendwie fehlt mir da das Vorstellungsvermögen. Aber nun gut dann muß ich wohl noch eine Weile dran rumprobieren bis es endlich in meinen holen Schädel gesickert ist.
Vielen Dank für die prompte Antwort
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Do 16.10.2008 | | Autor: | cj606 |
| Aufgabe | Definieren Sie eine Abbildung f : N->N mit folgenden Eigenschaften:
(a) f ist surjektiv, und
(b) die Menge der Urbilder von 1 unter f hat unendlich viele Elemente. |
Guten Morgen,
Habe hier gerade ungefähr die gleiche Aufgabe, nur dass B leider anders aussieht.
"die Menge der Urbilder von 1 unter f hat unendlich viele Elemente."
Wie würde die Abbildung/Funktion denn aussehen?
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Do 16.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> Definieren Sie eine Abbildung f : N->N mit folgenden
> Eigenschaften:
> (a) f ist surjektiv, und
> (b) die Menge der Urbilder von 1 unter f hat unendlich
> viele Elemente.
> Guten Morgen,
> Habe hier gerade ungefähr die gleiche Aufgabe, nur dass B
> leider anders aussieht.
> "die Menge der Urbilder von 1 unter f hat unendlich viele
> Elemente."
>
> Wie würde die Abbildung/Funktion denn aussehen?
Du kannst z.B. alle geraden Zahlen auf 1 abbilden. Für ungerade Zahlen n wählst Du als Bild $ [mm] \bruch{n+1}{2} [/mm] $
Es gibt natürlich noch eine Menge weiterer Möglichkeiten. Du kannst ja mal noch eine 2. suchen.
Gruß
Sigrid
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> MfG
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