Abbildung der oberen Halbebene < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Fr 28.12.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | Gesucht ist das Bild der oberen Halbebene [mm] H = \{z \in \IC | Im z>0\} [/mm] unter der Transformation [mm] h(z)=\bruch{z-i}{z+i} [/mm] |
Gesucht ist die Abbildung der oberen Halbebene (ImZ>0) unter der Transformation [mm] h(z)=\bruch{z-i}{z+i} [/mm]
Setzt man für [mm] z=x+iy [/mm] kann man auch schreiben:
[mm] h(z)=\bruch{z-i}{z+i} =\bruch{x+iy-i}{x+iy+i} = \bruch{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}[/mm]
konjungiert komplex erweitert gibt:
[mm] h(z) = \bruch{x+i(y-1)}{x+i(y+1)} * \bruch{x-i(y+1)}{x-i(y+1)} = \bruch{x^{2}+y^{2}-1-i2x}{x^2+(y+1)^{2}}[/mm] wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Also: [mm] h(z)=\bruch{x^{2}+y^{2}-1}{x^2+(y+1)^{2}} - i * \bruch{2x}{x^2+(y+1)^{2}} [/mm]
Nur welche Aussage kann ich dann über mein Bild der oberen Halbebene unter der Transformation [mm] h(z)=\bruch{z-i}{z+i} [/mm] treffen? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Für eure Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar.
Viele Grüße, Andreas
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[mm]h[/mm] ist eine Möbius-Transformation. Auf der durch [mm]\infty[/mm] kompaktifizierten komplexen Ebene bildet [mm]h[/mm] daher Kreise auf Kreise ab, wobei Geraden als Kreise durch [mm]\infty[/mm] angesehen werden. Jetzt studiert man die Wirkung von [mm]h[/mm] auf drei Elementen der reellen Achse (dieser Kreis begrenzt die obere Halbebene):
[mm]\infty \mapsto 1 \, , \ \ \ 0 \mapsto -1 \, , \ \ \ 1 \mapsto -\operatorname{i}[/mm]
Welchen Kreis bestimmen nun die Bilder (eine Zeichnung zeigt alles)? Die obere Halbebene muß nun entweder auf das Innere oder das Äußere dieses Kreises abgebildet werden (stetige Abbildungen erhalten den Zusammenhang). Um zu sehen, welche der beiden Möglichkeiten zutrifft, muß man lediglich noch für ein Element der oberen Halbebene das Bild bestimmen. Wie wäre es mit [mm]z = \operatorname{i}[/mm]?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Fr 28.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Leopold, vielen Dank für Deinen ausführlichen post!
> Jetzt studiert man die Wirkung von [mm]h[/mm] auf drei
> Elementen der reellen Achse (dieser Kreis begrenzt die
> obere Halbebene):
>
> [mm]\infty \mapsto 1 \, , \ \ \ 0 \mapsto -1 \, , \ \ \ 1 \mapsto -\operatorname{i}[/mm]
Die drei Elemente der reellen Achse sind, wenn ich Dich richtig verstanden habe, [mm] \infty, [/mm] 0 und 1
Jetzt soll man die Wirkung von h auf diese drei Elemente betrachten. Was meinst Du damit genau? Dass man die Werte in h einsetzt? Beziehungsweise alle Werte von [mm] \infty \mapsto [/mm] 1 für z in h(z) einsetzt und schaut, was h(z) macht, und genauso mit 0 [mm] \mapsto [/mm] -1 für z in h(z) einsetzen und ebenso 1 [mm] \mapsto -\operatorname{i} [/mm] für z in h(z) einsetzt und schaut, was h(z) macht?
Setze ich dann bei [mm] \infty \mapsto [/mm] 1 z.B. nur den Realteil für z ein?
> Welchen Kreis bestimmen nun die Bilder (eine Zeichnung
> zeigt alles)? Die obere Halbebene muß nun entweder auf das
> Innere oder das Äußere dieses Kreises abgebildet werden
> (stetige Abbildungen erhalten den Zusammenhang). Um zu
> sehen, welche der beiden Möglichkeiten zutrifft, muß man
> lediglich noch für ein Element der oberen Halbebene das
> Bild bestimmen. Wie wäre es mit [mm]z = \operatorname{i}[/mm]?
>
Verstehe ich noch nicht so ganz.
Wenn ich z=i in h(z) einsetze, erhalte ich doch 0?
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Viele Grüße, Andreas
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Mein Vorschlag ist nur dann geeignet, wenn du mit dem Begriff der Möbiusabbildung und ihrer Kreistreue etwas anfangen kannst. Andernfalls muß man die Aufgabe irgendwie anders angehen (siehe unten bei Alternative).
Ja, du sollst die Werte einfach in [mm]h[/mm] einsetzen:
[mm]h(\infty) = 1 \, , \ \ \ h(0) = -1 \, , \ \ \ h(1) = - \operatoraname{i}[/mm]
Den Wert von [mm]\infty[/mm] kannst du folgendermaßen sehen:
[mm]h(z) = \frac{z - \operatorname{i}}{z + \operatorname{i}} = \frac{1 - \frac{\operatorname{i}}{z}}{1 + \frac{\operatorname{i}}{z}}[/mm]
Setzt du nun für [mm]z[/mm] Werte von immer größerem Betrag ein, so streben die Brüche [mm]\pm \frac{\operatorname{i}}{z}[/mm] gegen 0 (betrachte einfach ihre Beträge, um das zu sehen), also [mm]h(z)[/mm] gegen 1. Das zeigt: [mm]h(\infty) = 1[/mm].
Da nun [mm]\infty,0,1[/mm] auf einem Kreis liegen, nämlich der die obere Halbebene begrenzenden reellen Achse, müssen auch ihre Bilder [mm]1,-1,-\operatorname{i}[/mm] auf einem Kreis [mm]k[/mm] liegen (das ist die Kreistreue der Möbiustransformation), der seinerseits das Bild der oberen Halbebene begrenzt (Stetigkeit von [mm]h[/mm]). Und deine Aufgabe ist es nun, [mm]k[/mm] zu bestimmen. Dazu genügt aber eine Zeichnung. Die zeigt schon alles. Jetzt gibt es aber zwei offene zusammenhängende Mengen, die [mm]k[/mm] als Rand haben, nämlich das Innere von [mm]k[/mm] und das Äußere von [mm]k[/mm]. Eines von beiden muß das Bild der oberen Halbebene sein.
Alternative
Setze [mm]w = \frac{z - \operatorname{i}}{z + \operatorname{i}}[/mm] und zeige
[mm]|w| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ y > 0[/mm]
wobei natürlich [mm]y[/mm] der Imaginärteil von [mm]z[/mm] sein soll. (Und damit habe ich auch schon verraten, was das gesuchte Bild ist.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Sa 29.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo leopold, vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung. Ich denke, jetzt habe ich es verstanden. Anbei meine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
h(z) bildet also offensichtlich die obere Halbebene auf die nach oben offene Einheitskreisscheibe ab. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Ist das richtig?
>
> Setze [mm]w = \frac{z - \operatorname{i}}{z + \operatorname{i}}[/mm]
> und zeige
>
> [mm]|w| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ y > 0[/mm]
>
> wobei natürlich [mm]y[/mm] der Imaginärteil von [mm]z[/mm] sein soll.
Wie zeige ich aber formal [mm]|w| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ y > 0[/mm]? Da würde ich Dich noch einmal bitten, mir zu helfen.
Damit zeige ich doch aber dann nur, dass es sich um einen (Einheits)kreis handelt, oder?
Muss ich nicht noch zusätzlich zeigen, dass ich auf die nach oben offene Einheitskreisscheibe im negativen imaginären Bereich abbilde?
Viele Grüße, und nochmals, vielen, vielen Dank!
Schönes Wochenende, Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Was du schreibst, ist so halbrichtig. Du hast richtig erkannt, daß der Kreis, auf dem [mm]h(\infty), h(1),h(0)[/mm] liegen, der Einheitskreis ist. Aber der gesamte Einheitskreis ist das Bild der reellen Achse, nicht nur der untere Halbkreis (Kreistreue von [mm]h[/mm]). Da [mm]\operatorname{i}[/mm] in der oberen Halbebene liegt und durch [mm]h[/mm] auf 0 abgebildet wird, was im Innern des Einheitskreises liegt, folgt: Das Bild der oberen Halbebene unter [mm]h[/mm] ist das Innere des Einheitskreises. Hier wird verwendet, daß [mm]h[/mm] als stetige Funktion zusammenhängende Mengen auf zusammenhängende Mengen abbildet.
Die alternative Rechnung geht so:
[mm]|w| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| \frac{z - \operatorname{i}}{z + \operatorname{i}} \right| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{| z - \operatorname{i} |}{| z + \operatorname{i} |} < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ | z - \operatorname{i} | < | z + \operatorname{i} |[/mm]
Da in der letzten Ungleichung beide Seiten positive reelle Zahlen sind, darf man quadrieren:
[mm]\Leftrightarrow \ \ | z - \operatorname{i} |^2 < | z + \operatorname{i} |^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ (z - \operatorname{i}) \cdot \overline{(z - \operatorname{i})} < (z + \operatorname{i}) \cdot \overline{(z + \operatorname{i})} \ \ \Leftrightarrow \ \ (z - \operatorname{i})(\bar{z} + \operatorname{i}) < (z + \operatorname{i})(\bar{z} - \operatorname{i})[/mm]
Jetzt noch ausmultiplizieren und vereinfachen: auf beiden Seiten gemeinsame reelle Summanden fallen weg.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Sa 29.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo leopold!
> Was du schreibst, ist so halbrichtig. Du hast richtig
> erkannt, daß der Kreis, auf dem [mm]h(\infty), h(1),h(0)[/mm]
> liegen, der Einheitskreis ist. Aber der gesamte
> Einheitskreis ist das Bild der reellen Achse, nicht nur der
> untere Halbkreis (Kreistreue von [mm]h[/mm]). Da [mm]\operatorname{i}[/mm] in
> der oberen Halbebene liegt und durch [mm]h[/mm] auf 0 abgebildet
> wird, was im Innern des Einheitskreises liegt, folgt: Das
> Bild der oberen Halbebene unter [mm]h[/mm] ist das Innere des
> Einheitskreises. Hier wird verwendet, daß [mm]h[/mm] als stetige
> Funktion zusammenhängende Mengen auf zusammenhängende
> Mengen abbildet.
OK, hab' ich jetzt verstanden. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
>
> Die alternative Rechnung geht so:
>
> [mm]|w| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| \frac{z - \operatorname{i}}{z + \operatorname{i}} \right| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{| z - \operatorname{i} |}{| z + \operatorname{i} |} < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ | z - \operatorname{i} | < | z + \operatorname{i} |[/mm]
>
> Da in der letzten Ungleichung beide Seiten positive reelle
> Zahlen sind, darf man quadrieren:
>
> [mm]\Leftrightarrow \ \ | z - \operatorname{i} |^2 < | z + \operatorname{i} |^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ (z - \operatorname{i}) \cdot \overline{(z - \operatorname{i})} < (z + \operatorname{i}) \cdot \overline{(z + \operatorname{i})} \ \ \Leftrightarrow \ \ (z - \operatorname{i})(\bar{z} + \operatorname{i}) < (z + \operatorname{i})(\bar{z} - \operatorname{i})[/mm]
>
> Jetzt noch ausmultiplizieren und vereinfachen: auf beiden
> Seiten gemeinsame reelle Summanden fallen weg.
Also ich rechne mal weiter:
[mm] (z - \operatorname{i})(\bar{z} + \operatorname{i}) < (z + \operatorname{i})(\bar{z} - \operatorname{i}) \ \ \Leftrightarrow \ \ z\bar{z}+iz-i\bar{z}-i^{2} < z\bar{z}-iz+i\bar{z}-i^{2} [/mm]
Für [mm] |z|=1 [/mm] gilt ja [mm] z\bar{z}=1[/mm] und [mm]i^{2}=-1[/mm]
[mm] 1+iz-i\bar{z}+1 < 1-iz+i\bar{z}+1 \ \ \Leftrightarrow \ \ 2+iz-i\bar{z} < 2-iz+i\bar{z} \ \ \Leftrightarrow [/mm]
[mm] 2+i*(z-\bar{z}) < -i*(z+\bar{z}) \ \ \Leftrightarrow \ \ i*(z-\bar{z}) < -i*(z+\bar{z}) \ \ \Leftrightarrow [/mm]
[mm]z-\bar{z} < -z-\bar{z} \ \ \Leftrightarrow \ \ z < -z [/mm]
Wie sehe ich jetzt, dass [mm] y>0 [/mm] ???? Oder hab' ich mich verrechnet?
Viele Grüße, und danke für Deine geduldigen Erläuterungen, die mir die Möbiustransformationen wesentlich klarer gemacht haben.
Andreas
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Du darfst in der Rechnung nicht einfach weitere Annahmen machen. Du unterstellst, daß [mm]|z| = 1[/mm] ist, also [mm]z[/mm] auf dem Einheitskreis liegt. Du willst doch gerade etwas über [mm]z[/mm] herausbekommen und darfst daher nicht etwas über [mm]z[/mm] voraussetzen. Das ist so, als wolltest du die Gleichung [mm]z^4 + 5z^2 - z +2 = 0[/mm] lösen und sagtest: Ach, ich sage einfach [mm]z^4 = 1[/mm]! Natürlich würde sich dadurch die Gleichung vierten Grades schwuppdiwupp in eine zweiten Grades verwandeln. Aber deren Lösungen hätten dann nichts mehr mit dem ursprünglichen Problem zu tun. Rein gar nichts mehr.
Im übrigen ist das auch gar nicht nötig: Da [mm]z \bar{z} = |z|^2[/mm] eine reelle Zahl ist, die auf beiden Seiten der Ungleichung als Summand auftritt, fällt sie durch Subtrahieren ebenso wie die 1 weg. Problem gelöst! Und so sieht es dann aus:
[mm]\operatorname{i} z - \operatorname{i} \bar{z} < - \operatorname{i}z + \operatoraname{i} \bar{z}[/mm]
Und jetzt kommt der nächste Hammer. Einmal ganz abgesehen davon, daß du auf der rechten Seite falsch ausgeklammert hast (Vorzeichenfehler), rechnest du rein formal, ohne dir über die Natur der Objekte, mit denen du hantierst, Gedanken zu machen.
Wichtig ist zunächst Folgendes:
UNGLEICHUNGEN GIBT ES NUR ZWISCHEN REELLEN ZAHLEN, NIEMALS ZWISCHEN KOMPLEXEN.
[mm]| z - \operatorname{i}| < | z + \operatorname{i} |[/mm]
ist eine Ungleichung zwischen reellen Zahlen, denn Beträge sind reell, und zwar nichtnegativ - und nur deshalb darf man die Ungleichung überhaupt quadrieren (überlege einmal, warum die Ungleichungen [mm]t>2[/mm] und [mm]t^2>4[/mm] für die reelle Variable [mm]t[/mm] nicht dieselbe Lösungsmenge haben). Anschließend wurden die Seiten der Ungleichung nach gültigen Regeln umgeformt. Dabei haben sie ihren Wert nicht geändert, blieben insbesondere reelle Zahlen. Und natürlich kann man auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe reelle Zahl subtrahieren (das ist der Grund, warum ich so betont habe, daß [mm]|z|^2[/mm] reell ist). Dadurch haben sich die Seiten der Ungleichung geändert, der Wahrheitsgehalt der Aussage jedoch nicht. Und übrig bleiben wieder reelle Zahlen:
[mm]\operatorname{i} z - \operatorname{i} \bar{z} < - \operatorname{i}z + \operatoraname{i} \bar{z}[/mm]
Die Logik sagt einem also, daß da links und rechts des Kleinerzeichens eine reelle Zahl stehen muß. Die einzelnen Summanden sind natürlich mitnichten reell. Das Ausklammern von [mm]\operatorname{i}[/mm] ist noch unproblematisch:
[mm]\operatorname{i} \left( z - \bar{z} \right) < - \operatorname{i} \left( z - \bar{z} \right)[/mm]
Das Teilen dieser Ungleichung durch [mm]\operatorname{i}[/mm] ist aber eine einzige Katastrophe. Wie gesagt: Es gibt keine Ungleichungen zwischen komplexen Zahlen. Wenn uns doch aber der gesunde Menschenverstand sagt, daß die einzelnen Seiten reell sein müssen, wird es langsam Zeit, diese reelle Zahl einmal auszurechnen. Setze [mm]z = x + \operatorname{i}y[/mm]. Und dann bitte keine neuen Vorzeichenfehler.
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Den Vorzeichenfehler verzeihe ich dir, die Division der Ungleichung durch [mm]\operatorname{i}[/mm] dagegen nicht. 
Die Ungleichung [mm]y > -y[/mm] ist aber nicht für alle reellen [mm]y[/mm] gültig, sondern nur für die mit [mm]y>0[/mm]:
[mm]y > - y \ \ \Leftrightarrow \ \ 2y > 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ y > 0[/mm]
Insgesamt ist also jetzt gezeigt:
[mm]|w| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ y > 0[/mm]
Das Bild [mm]w[/mm] von [mm]z[/mm] unter der Abbildung [mm]h[/mm] liegt also genau dann im Einheitskreis, wenn der Imaginärteil [mm]y[/mm] von [mm]z[/mm] positiv ist, wenn also mit anderen Worten [mm]z[/mm] der oberen Halbebene angehört. Kurzum: [mm]h[/mm] bildet die obere Halbebene auf die offene Einheitskreisscheibe ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 So 30.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo leopold, alles klar, vielen dank noch einmal für Deine Geduld mit mir
Viele Grüße und noch einen schönen Sonntag!
Andreas
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