Abbildung eines Raums < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mo 14.04.2008 | | Autor: | lucy19 |
| Aufgabe | Aufgabenstellung:
Ein Turm besteht aus einem quaderförmigen Grundbau mit einem
Spitzdach in Form einer geraden, quadratischen Pyramide (siehe
rechts). Auf Seite 2 finden Sie ein Schrägbild des Turmes.
Der Turm erzeugt auf dem (horizontalen) Boden einen Schatten.
a) Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen parallel
zum Vektor
v = [mm] \vektor{2\\1\\ -1} [/mm] ein.
Berechnen Sie die Endpunkte und die Länge des Schattens, den die Dachkante SE
mit S(3 | 3 |12) und E(6 | 0 | 4) in der x1-x2-Ebene erzeugt.
(9 Punkte)
b) Durch
[mm] \vektor{x1´´\\ x2´´\\ x3´´} [/mm] = α * [mm] \{\vektor{x1\\ x2\\ x3}\} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0,5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{x1\\ x2\\ x3}
[/mm]
wird eine Abbildung α des Raumes festgelegt.
Untersuchen Sie, welche Vektoren bei der Abbildung α fest bleiben und welche Geraden
nicht wieder auf Geraden abgebildet werden.
Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. Beschreiben Sie insbesondere
die Richtung der Sonnenstrahlen. (20 Punkte)
c) Der Sonnenstand wird wie in Teilaufgabe b) vorausgesetzt. Im Punkt T (4 |10 | 2,6) ist
ein Temperaturfühler angebracht.
Untersuchen Sie, ob der Temperaturfühler noch im Schatten des Turmes liegt.
(11 Punkte)
d) Beschreiben Sie die Form des Turmschattens, wenn die Sonnenstrahlen parallel zum
Vektor [mm] \vektor{2\\ 2\\ a} [/mm] ,a<0 einfallen.
Ermitteln Sie für den Fall a = −2 eine Abbildungsgleichung. (10 Punkte) |
Hallo,
Also die a) dieser Aufgabe bekomme ich super gelöst, Geraden und Ebene aufstellen, dann einsetzen und länge bestimmen.
Aber an der b) bin ich total am verzweifeln, den ersten teil habe ich, also dass alle x3 Werte 0 sind und somit alle
Vektoren [mm] \vektor{x1\\ x2\\ 0}
[/mm]
in der Abbildung fest sind, und somit die x1-x2-Ebene Fixpunktebene ist.
Aber dann komm ich nicht weiter, wollte den rest schon überspringen nur bauen die nächsten Teilaufgaben darauf auf.
Hoffe mir kann jemand helfen.... Danke im voraus
lg Lucy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo lucy19,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> b) Durch
>
> [mm]\vektor{x1´´\\ x2´´\\ x3´´}[/mm] = α * [mm]\{\vektor{x1\\ x2\\ x3}\}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0,5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm] *
> [mm]\vektor{x1\\ x2\\ x3}[/mm]
>
> wird eine Abbildung α des Raumes festgelegt.
> Untersuchen Sie, welche Vektoren bei der Abbildung α
> fest bleiben und welche Geraden
> nicht wieder auf Geraden abgebildet werden.
> Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
> Beschreiben Sie insbesondere
> die Richtung der Sonnenstrahlen. (20 Punkte)
>
> c) Der Sonnenstand wird wie in Teilaufgabe b)
> vorausgesetzt. Im Punkt T (4 |10 | 2,6) ist
> ein Temperaturfühler angebracht.
> Untersuchen Sie, ob der Temperaturfühler noch im Schatten
> des Turmes liegt.
> (11 Punkte)
>
> d) Beschreiben Sie die Form des Turmschattens, wenn die
> Sonnenstrahlen parallel zum
>
> Vektor [mm]\vektor{2\\ 2\\ a}[/mm] ,a<0 einfallen.
> Ermitteln Sie für den Fall a = −2 eine
> Abbildungsgleichung. (10 Punkte)
> Hallo,
>
>
> Aber an der b) bin ich total am verzweifeln, den ersten
> teil habe ich, also dass alle x3 Werte 0 sind und somit
> alle
>
> Vektoren [mm]\vektor{x1\\ x2\\ 0}[/mm]
>
> in der Abbildung fest sind, und somit die x1-x2-Ebene
> Fixpunktebene ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Durch die Abbildung sollen bestimmte Geraden nicht wieder auf Geraden abgebildet werden, d.h. diese bestimmten Geraden sollen auf einen Punkt abgebildet werden.
Sei g eine Gerade, die wie folgt definiert ist:
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}[/mm]
mit
[mm]\overrightarrow{a}=\pmat{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}[/mm]
[mm]\overrightarrow{b}=\pmat{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}[/mm]
Nun bilden wir die ab:
[mm]\pmat{1 & 0 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0} \left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)= \pmat{1 & 0 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0} \overrightarrow{a} + t*\pmat{1 & 0 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0}*\overrightarrow{b}[/mm]
Da die Abbildung dieser Geraden einen Punkt ergeben soll, muß der Richtungsvektor [mm]\overrightarrow{b}[/mm] auf den Nullvektor abgebildet werden.
Das heisst, es ist die Lösungsmenge von
[mm]\pmat{1 & 0 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0}*\overrightarrow{b}=\pmat{1 & 0 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0}*\pmat{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}= \pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
zu bestimmen.
>
> Aber dann komm ich nicht weiter, wollte den rest schon
> überspringen nur bauen die nächsten Teilaufgaben darauf
> auf.
>
> Hoffe mir kann jemand helfen.... Danke im voraus
>
> lg Lucy
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Steini |
Man nennt sowas dann "den Kern der Abbildung" bestimmen.
Falls es dich interessiert.
Viel Glück morgen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 14.04.2008 | | Autor: | lucy19 |
ich glaub ich bin zu blöd dazu, habe vorhin auch schon den richtungsvektor auf den Nullvektor abgebildet, bekomm da aber glaub ich was falsches raus, denn bei mir ist das nicht mehr in 3D sondern dann in 2D
[mm] {-0,5\\ -1}, [/mm] wie mache ich denn dann weiter?
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Hallo lucy19,
> ich glaub ich bin zu blöd dazu, habe vorhin auch schon den
> richtungsvektor auf den Nullvektor abgebildet, bekomm da
> aber glaub ich was falsches raus, denn bei mir ist das
> nicht mehr in 3D sondern dann in 2D
>
> [mm]{-0,5\\ -1},[/mm] wie mache ich denn dann weiter?
Wahrscheinlich hast Du übersehen, daß da eine Variable (hier z.B. z) frei wählbar ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 16.02.2009 | | Autor: | tj09 |
Hallo, ich würde mich gerne in diese Aufgabe einklinken...
Ich bearbeite gerade die gleiche Aufgabe, nur habe ich in meiner Aufgabe bei dem Sonnenstrahlen in Aufgabe a) bei z= -a
Ich komme damit gerade überhaupt nicht zurecht und stehe auf dem Schlauch, wie kann ich denn da ne richtige Länge bestimmen...
Im Endeffekt möchte ich ja erstmla den Endpunkt, also den Schnittpunkt der Gerade (s und Vektor) mit der Ebene x1x2... Aber auch da bekomme ich mit a ja keine richtige Lösung raus...
Bitte um Hilfe!
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Hallo tj09,
> Hallo, ich würde mich gerne in diese Aufgabe einklinken...
> Ich bearbeite gerade die gleiche Aufgabe, nur habe ich in
> meiner Aufgabe bei dem Sonnenstrahlen in Aufgabe a) bei z=
> -a
>
> Ich komme damit gerade überhaupt nicht zurecht und stehe
> auf dem Schlauch, wie kann ich denn da ne richtige Länge
> bestimmen...
>
> Im Endeffekt möchte ich ja erstmla den Endpunkt, also den
> Schnittpunkt der Gerade (s und Vektor) mit der Ebene
> x1x2... Aber auch da bekomme ich mit a ja keine richtige
> Lösung raus...
Nun die Länge des Schattens hängt dann von dem Parameter a ab.
>
> Bitte um Hilfe!
Gruß
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 Di 17.02.2009 | | Autor: | tj09 |
Ich habe nochmal eine Frage...
Die Frage mit dem a hat sich geklärt, das war ein Tippfehler... es ist also auch z= -1
Irgendwie stehe ich da gerade auf dem Schlauch, das soll ja durch die Dachkante SE gehen, aber mit dem Strahlenvektor...wie lege ich denn da die Strahlengerade an? ist das se der Startvektor und der Strahlenvektor der Richtungsvektor?
Danke schonmal...
Edit:
So, ich bin dann gerade doch noch drauf gekommen ^^ und habe die Lösung, nun werde ich mich an die anderen Aufgaben machen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Di 17.02.2009 | | Autor: | tj09 |
So da wäre ich schon wieder...
Ich habe nun (-0,5/-1/1) z selbst gewählt...
Nur irgendwie blicke ich nicht mehr durch was ich damit jetzt weiter machen muss...
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Hallo tj09,
> So da wäre ich schon wieder...
>
> Ich habe nun (-0,5/-1/1) z selbst gewählt...
>
> Nur irgendwie blicke ich nicht mehr durch was ich damit
> jetzt weiter machen muss...
Nun schneide die Geraden, die durch S bzw. E gehen,
[mm]g:\overrrightarrow{x}=\overrightarrow{OS}+t*\overrightarrow{v}[/mm]
[mm]h:\overrrightarrow{x}=\overrightarrow{OE}+u*\overrightarrow{v}[/mm]
,wobei [mm]\overrightarrow{v}[/mm] der Projektionsvektor ist,
demnach die Richtung der Sonnenstrahlen,
mit der x1x2-Ebene.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 17.02.2009 | | Autor: | tj09 |
habe gerade gesehen, dass meine Frage ziemlich missverständlich gestellt war, ich habe in dem Moment von b) geredet...
Bei a) habe ich meinen Denkfehler selber gefunden und auch ne logische Lösung bekommen...
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Hallo tj09,
> habe gerade gesehen, dass meine Frage ziemlich
> missverständlich gestellt war, ich habe in dem Moment von
> b) geredet...
>
> Bei a) habe ich meinen Denkfehler selber gefunden und auch
> ne logische Lösung bekommen...
>
>
Beim Aufgabenteil b) ist das hier zu tun.
Gruß
MathePower
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