Abbildung in R^2 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Sa 10.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung f mit
f: [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2, [/mm] x = [mm] \vektor{x1 \\ x2} \mapsto \vektor{x2 \\ x1}
[/mm]
a) Zeigen Sie: f ist eine lineare Abbildung.
b) Stellen Sie die Abbildung f in Matrizen-Schreibweise dar, d.h. bestimmen Sie eine Matrix A, so dass gilt: f(x)= A * x
c) Bestimmen Sie [mm] f^{-1} [/mm] (x)
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moin zusammen,
zu a) denke ich mir, dass ich vielleicht schreiben könnte x2=x1 ?
wie zeige ich das f lineare Abbildung ist?
zu c) könnte ich, lösen, wenn ich b) hinbekäme.
danke & gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Sa 10.02.2007 | | Autor: | GerKill |
Hallo Wolfgang,
Zu (i): Wan ist eine Abbildung linear?
Sie ist additiv:
zeige f((x1,x2)+(y1,y2)) = f(x1,x2) + f(y1,y2)
und homogen:
zeige f(a(x1,x2)) = a f(x1,x2), a aus R.
Das ist wohl nicht mehr schwer, oder?
Zu (ii):
[mm]\vektor{x2 \\ x1}= f(\vektor{x1 \\ x2}) = f(x) = Ax = A \vektor{x1 \\ x2}=\pmat{ a & b \\ c & d }\vektor{x1 \\ x2}=\vektor{ax1+bx2 \\ cx1+dx2}[/mm]
Also gilt (linke Seite der obigen Gleichung ist gleich der rechten):
x2 = ax1+bx2 und x1 = cx1+dx2
Die Gleichungen gelten für alle Paare (x1,x2), also für (x1,x2)=(1,0) und für (x1,x2)=(0,1); Einsetzen ergibt:
[mm] A =\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
Zu (iii):
Suche nach der inversen Abbildung führt nicht immer durch das Invertieren von Matrizen, hier ist es einfacher, die definition zu schreiben:
[mm] \vektor{x1 \\ x2}\underbrace{=}_{Def. von Inversen}f^{-1} (f \vektor{x1 \\ x2}) = f^{-1}(\vektor{x2 \\ x1})[/mm]
Also tauscht [mm]f^{-1}[/mm] genau wie f x1 und x2 aus, also gilt [mm]f^{-1}=f[/mm]
Noch Fragen?
Gruß
GerKill
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