Abbildung in komplexer Ebene < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Auf welches Gebiet wird die horizontale Gerade [mm] \[\{z=x+iy_{0}:x,y_{0}\in\IR,y_{0} =konstant\}\] [/mm] durch [mm] \[z\to e^{z}\] [/mm] abgebildet? |
Zuerst habe ich eingesetzt und vereinfacht, d.h.
[mm] \[e^{x}(\cos{y_{0}}+i\sin{y_{0}})\]
[/mm]
und jetzt sehe ich schon, dass diese Abbildung periodisch mit [mm] \[2\pi\] [/mm] ist, d.h. die Menge ist beschränkt, nicht? Dann habe ich mir gedacht, dass [mm] \[0\le y_{0}<2\pi\] [/mm] sein muss. Der Realteil hat sein Maximum bei [mm] \[y_{0}=0\], [/mm] dann ist er [mm] \[e^{x}\]. [/mm] Sein Minimum hat er bei [mm] \[y_{0}=\pi\], [/mm] dann ist er [mm] \[-e^{x}\]. [/mm] Und analog der Imaginärteil: bei [mm] \[y_{0}=\pi/2\] [/mm] maximal, dann ist er [mm] \[e^{x}\], [/mm] bei [mm] \[y_{0}=3\pi/2\] [/mm] minimal, dann ist er [mm] \[-e^{x}\]. [/mm] Wenn Der Realteil maximal ist, ist der Imaginärteil Null und umgekehrt. Also ist das Gebiet jenes zwischen [mm] \[e^{z}\] [/mm] und [mm] \[-e^{z}\], [/mm] oder?
Meine Argumentation steht und fällt mit der Tatsache, ob [mm] \[y_{0}\] [/mm] periodisch ist.
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 So 13.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Auf welches Gebiet wird die horizontale Gerade
> [mm]\[\{z=x+iy_{0}:x,y_{0}\in\IR,y_{0} =konstant\}\][/mm] durch
> [mm]\[z\to e^{z}\][/mm] abgebildet?
> Zuerst habe ich eingesetzt und vereinfacht, d.h.
> [mm]\[e^{x}(\cos{y_{0}}+i\sin{y_{0}})\][/mm]
> und jetzt sehe ich schon, dass diese Abbildung periodisch
> mit [mm]\[2\pi\][/mm] ist, d.h. die Menge ist beschränkt, nicht?
Nein.
Erst einmal ist laut Aufgabenstellung [mm] $y_0$ [/mm] eine Konstante. Also ist auch
[mm] $(\cos y_{0}+i\sin y_{0})$
[/mm]
konstant, nämlich eine feste komplexe Zahl auf dem Einheitskreis. Du hast damit schon die Polardarstellung der Zahl [mm] $e^z$: [/mm] ihr Betrag ist [mm] $e^x$, [/mm] ihr Winkel zur positiven reellen Achse ist [mm] $y_0$. [/mm] Was ist das geometrisch?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Mo 14.05.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Eine Halbgerade
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