Abbildung injektiv/surjektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 So 21.04.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] f:X\to [/mm] Y und [mm] g:Y\to [/mm] X zwei Abbildungen mit [mm] \forall x\in [/mm] X [mm] (g\circ [/mm] f)(x)=x
Zeige, dass g surjektiv ist und f injektiv. |
Hallo!
ich brauche etwas Hilfe um das zu zeigen. Erstmal: injetiv heißt ja, es gibt nur eine Zuordnung, bei surjektiv gibt es mehrere Zuordnungen.
bei [mm] (g\circ [/mm] f)(x) kann man auch g(f(x))=x schreiben. Es wird also ein Element aus X injektiv auf ein Element aus Y abgebildet und dann wieder dieses Element surjektiv auf ein Element der Menge X. Aber wie beweist man sowas?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 So 21.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]f:X\to[/mm] Y und [mm]g:Y\to[/mm] X zwei Abbildungen mit [mm]\forall x\in[/mm] X
> [mm](g\circ[/mm] f)(x)=x
>
> Zeige, dass g surjektiv ist und f injektiv.
> Hallo!
> ich brauche etwas Hilfe um das zu zeigen. Erstmal: injetiv
> heißt ja, es gibt nur eine Zuordnung, bei surjektiv gibt
> es mehrere Zuordnungen.
>
> bei [mm](g%5Ccirc[/mm] f)(x) kann man auch g(f(x))=x schreiben. Es
> wird also ein Element aus X injektiv auf ein Element aus Y
> abgebildet und dann wieder dieses Element surjektiv auf ein
> Element der Menge X. Aber wie beweist man sowas?
Überlege mal, was es bedeutet, dass [mm] $(g\circ [/mm] f)(x)=x$.
Was bedeutet dass für die Wertemenge von f in y und die Definitionsmenge von g in X?
>
> LG
> heinze
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 21.04.2013 | | Autor: | heinze |
f(y)=x und g(x)=y
Die Wertemenge von f in Y ist gleich der Definitionsmenge von g in X.
Verstanden hab ich es ja, aber ich weiß nicht wie man zu sowas einen Beweis führen kann.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 21.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(y)=x und g(x)=y
>
> Die Wertemenge von f in Y ist gleich der Definitionsmenge
> von g in X.
> Verstanden hab ich es ja, aber ich weiß nicht wie man zu
> sowas einen Beweis führen kann.
>
> LG
> heinze
Kombiniere das nun noch mit der Bedingung, dass [mm] $(g\circ [/mm] f)(x)=x $
Mache dir mal klar, dass g und f Umkehrfunktionen sind.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 21.04.2013 | | Autor: | heinze |
Das ist mir soweit an sich ja alles klar.
f(y)=x und g(y)=x
[mm] (g\circ [/mm] f)(x)=g(f(x))=g(x)=x
Aber so kanns ja nicht stimmen, den es muss ja f(y)=x heißen und nicht f(x)
LG
heinze
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Hallo,
> f(y)=x und g(y)=x
> [mm](g\circ[/mm] f)(x)=g(f(x))=g(x)=x
>
> Aber so kanns ja nicht stimmen, den es muss ja f(y)=x
> heißen und nicht f(x)
Ich kann mit deinen x und y nicht so viel anfangen.
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Lass uns mal einen Beweis strikt nach Definition versuchen.
Gegeben:
Für alle $x [mm] \in [/mm] X: (g [mm] \circ [/mm] f)(x) = x$ (*)
Beweis dass f injektiv: Seien [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ mit
[mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$.
[/mm]
Wende auf beiden Seiten die Funktion $g$ an.
Benutze dann (*) auf beiden Seiten.
Es sollte dastehen: [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$. [/mm] Damit ist f injektiv.
Beweis dass g surjektiv: Sei $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig. Weise mit Hilfe mit (*) nach, dass y := f(x) [mm] \in [/mm] Y erfüllt:
$g (y) = x$.
Damit folgt g surjektiv.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 21.04.2013 | | Autor: | heinze |
Danke, das habe ich soweit verstanden. Kann ich bei dieser Aufgabe das so einfach zeigen, dass f injektiv und g surjektiv sind?
Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie ich das bei surjektiv mit der Verknüpfung zeige.
Wie weise ich mit [mm] (g\circ [/mm] f)(x)=x nach, dass y:=f(x)?
Mit der Definition allgemein von surjektiv? Ist dieser Beweis für die Aufgabe schon ausreichend?
Danke fürs erklären, ich muss mich in das Thema Abbildungen wohl noch mit reichlich Übung "einarbeiten".
LG
heinze
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Hallo,
> Danke, das habe ich soweit verstanden. Kann ich bei dieser
> Aufgabe das so einfach zeigen, dass f injektiv und g
> surjektiv sind?
Ja - aber du hast meine Beweisansätze ja noch nicht vervollständigt, also weiß ich nicht, ob dir das jtzt klar ist.
> Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie ich das bei
> surjektiv mit der Verknüpfung zeige.
>
> Wie weise ich mit [mm](g\circ[/mm] f)(x)=x nach, dass y:=f(x)?
??????????????????
y := f(x) ist eine Definition, die weist du nicht nach!
Du willst zeigen, dass g surjektiv ist. Dafür nimmst du ein beliebiges Element [mm] $x\in [/mm] X$ aus dem Bildraum und versuchst ein [mm] $y\in [/mm] Y$ aus dem Definitionsbereich zu finden, so dass $g(y) = x$ ist.
Die Aufgabe besteht also darin, ein geeignetes y zu finden.
Und mein Vorschlag war: $y := f(x)$.
Das muss also nicht bewiesen werden, das ist ein Ansatz! Und dieser Ansatz funktioniert, denn:
$g(y) = g(f(x)) = x$.
Letztes Gleichheitszeichen gilt wegen (*)
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 21.04.2013 | | Autor: | heinze |
Also nochmal und hoffentlich vollständig!
Voraussetzung: [mm] x\in [/mm] X und [mm] (g\circ [/mm] f)(x)=x
injektiv:
[mm] x_1,x_2\in [/mm] X
Nach Definition gilt [mm] f(x_1)=f(x_2)
[/mm]
[mm] g(f(x_1))=x_1 [/mm] nach Voraussetzung
[mm] g(f(x_2))=x_2 [/mm] nach Voraussetzung
Daraus folgt: [mm] x_1=x_2 [/mm] also ist f injektiv
surjektiv:
[mm] x\in [/mm] X sei beliebig.
heißt surjektiv, wenn für alle [mm] y\in [/mm] Y mindestens ein [mm] x\in [/mm] X mit f(y)=x existiert.
f(x):= y
g(f(x))=g(y)=x
Das zeigt, dass g surjektiv ist.!
Danke fürs erklären, jetzt dürfte alles klar sein dazu!
LG
heinze
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Hallo,
hier kommt die kritische Korrektur:
> Voraussetzung: [mm]x\in[/mm] X und [mm](g\circ[/mm] f)(x)=x
Die Voraussetzung lautet: Für alle x [mm] \in [/mm] X gilt: (g [mm] \circ [/mm] f)(x) = x.
Das ist ein Unterschied zu dem, was du geschrieben hast, weil bei dir nicht klar ist, für welche x die hintere Aussage gilt.
> injektiv:
> [mm]x_1,x_2\in[/mm] X
> Nach Definition gilt [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
Welche Definition?
Du meinst vielleicht das richtige, aber so sollte man es aufschreiben:
Seien [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$.
[/mm]
[Die Def. von injektiv lautet nämlich: [mm] $\forall x_1,x_2 \in [/mm] X : [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2$. [/mm] Deswegen nehmen wir zwei [mm] $x_1,x_2$ [/mm] mit der Eigenschaft [mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$ [/mm] und versuchen dann zu zeigen, dass [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$.]
[/mm]
> [mm]g(f(x_1))=x_1[/mm] nach Voraussetzung
> [mm]g(f(x_2))=x_2[/mm] nach Voraussetzung
>
> Daraus folgt: [mm]x_1=x_2[/mm] also ist f injektiv
Das ist OK. Man kann es etwas bündiger aufschreiben:
[mm] $x_1 \overset{Vorauss.}{=} [/mm] (g [mm] \circ f)(x_1) [/mm] = [mm] g(f(x_1)) \overset{f(x_1) =f(x_2)}{=} g(f(x_2)) [/mm] = (g [mm] \circ f)(x_2)\overset{Vorauss.}{=}x_2 [/mm] $
> surjektiv:
> [mm]x\in[/mm] X sei beliebig.
> heißt surjektiv, wenn für alle [mm]y\in[/mm] Y mindestens ein
> [mm]x\in[/mm] X mit f(y)=x existiert.
Nein, das ist genau falsch rum.
g surjektiv, wenn für alle $x [mm] \in [/mm] X$ (das heißt Elemente des Bildbereichs) ein $y [mm] \in [/mm] Y$ (Element des Definitionsbereichs) existiert, sodass g(y) = x.
> f(x):= y
Nein. Du sollst y := f(x) definieren, wenn ein x vorgegeben wird.
> g(f(x))=g(y)=x
>
> Das zeigt, dass g surjektiv ist.!
Nochmal ordentlich aufgeschrieben:
Sei [mm] $x\in [/mm] X$ beliebig. Definiere y := f(x).
Dann gilt: $g(f(x)) = (g [mm] \circ [/mm] f)(x) = x$.
Damit ist g surjektiv.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > surjektiv:
> > [mm]x\in[/mm] X sei beliebig.
> > heißt surjektiv, wenn für alle [mm]y\in[/mm] Y mindestens ein
> > [mm]x\in[/mm] X mit f(y)=x existiert.
>
> Nein, das ist genau falsch rum.
> g surjektiv, wenn für alle [mm]x \in X[/mm] (das heißt Elemente
> des Bildbereichs) ein [mm]y \in Y[/mm] (Element des
> Definitionsbereichs) existiert, sodass g(y) = x.
nur mal zur Ergänzung: $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ heißt (genau dann) surjektiv, wenn für
alle $y [mm] \in [/mm] Y$ gilt, dass es (mind.) ein $x [mm] \in [/mm] X$ gibt mit [mm] $f(x)=y\,.$
[/mm]
Das schreiben wir hier mal besser mal um zu:
$s [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ heißt surjektiv, wenn es für alle $b [mm] \in [/mm] B$ (mind.) ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit
[mm] $s(a)=b\,$ [/mm] gibt.
Der Grund ist nämlich, dass Heinze hier die Symbole der Definition auf die
Aufgabe anwendet, wo sie aber in anderer Bedeutung stehen. Denn die
Abbildung, der [mm] $s\,$ [/mm] entspricht, ist nicht die Abbildung [mm] $f\,$ [/mm] in der Aufgabe,
sondern die Abbildung [mm] $g\,.$ [/mm] Entsprechend ist [mm] $A=Y\,$ [/mm] und [mm] $B=X\,.$ [/mm] Vielleicht
hilft das ja bei Heinze, ein wenig die Verwirrung zu beseitigen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 So 21.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Danke fürs erklären, ich muss mich in das Thema
> Abbildungen wohl noch mit reichlich Übung "einarbeiten".
Ich habe zum Thema "Wie fange ich einen Beweis an?"  hier eine Hilfe verfasst. Da findest du unter Beispiele auch eines zur Surjektivität. Vielleicht hilft dir dieser Link ja weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 So 21.04.2013 | | Autor: | heinze |
Danke tobit! Das ist sehr nett! Das werde ich mir mal anschauen! Sowas hilft mir weiter!
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 So 21.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marius,
> Mache dir mal klar, dass g und f Umkehrfunktionen sind.
Ich weiß nicht genau, was du unter Umkehrfunktionen verstehst. Für mich haben aber nur bijektive Funktionen Umkehrfunktionen. Und hier müssen weder f noch g bijektiv sein.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marius,
>
>
> > Mache dir mal klar, dass g und f Umkehrfunktionen sind.
> Ich weiß nicht genau, was du unter Umkehrfunktionen
> verstehst. Für mich haben aber nur bijektive Funktionen
> Umkehrfunktionen.
Hallo Tobias,
damit bin ich nicht einverstanden. Ist $h:A [mm] \to [/mm] B$ eine injektive Funktion, so existiert die Umkehrfunktion
$ [mm] h^{-1}:h(A) \to [/mm] A.$
Gruß Fred
> Und hier müssen weder f noch g bijektiv
> sein.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > Hallo Marius,
> >
> >
> > > Mache dir mal klar, dass g und f Umkehrfunktionen sind.
> > Ich weiß nicht genau, was du unter Umkehrfunktionen
> > verstehst. Für mich haben aber nur bijektive Funktionen
> > Umkehrfunktionen.
>
> Hallo Tobias,
> damit bin ich nicht einverstanden. Ist [mm]h:A \to B[/mm] eine
> injektive Funktion, so existiert die Umkehrfunktion
>
> [mm]h^{-1}:h(A) \to A.[/mm]
das ist eigentlich nur eine Sache der Definition des Begriffs
![[]](/images/popup.gif) Umkehrabbildung (Definition 1.14) (oder Umkehrfunktion).
"Im Prinzip" ist Deine Auffassung gleichwertig zu der oben zitierten
Definition, denn wenn [mm] $h\colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ injektiv ist, ist [mm] $\tilde{h} \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] h(A)$ schon bijektiv.
Im Sinne der zitierten Definition ist dann [mm] $\tilde{h}$ [/mm] bijektiv und hat eine
Umkehrfunktion - diese stimmt dann mit der überein, die Du bzgl. [mm] $h\,$ [/mm]
nennst. Nur kann man im Sinne der zitierten Definition dann nicht mehr
von der Umkehrfunktion von [mm] $h\,$ [/mm] sprechen. D.h. offenbar liegt Dir eine -
etwas - andere Definition zugrunde, die ich auch kenne ( ist ja auch keine
große Kunst  ) und die meiner Erfahrung nach besonders gerne in der
Funktionentheorie praktikabler ist. Aber gerade, weil es da eigentlich zwei
mögliche Definitionen dieses Begriffes gibt, wäre es immer sinnvoll, wenn
der Autor erwähnt, welche er zugrundelegt. Denn gerade bei Anfängern
sorgt die zitierte Definition, wie ich finde, bei den Aufgaben für mehr
Klarheit. Und dann lernt man das und wendet es ständig an und sitzt in
der Funktionentheorie, wo der Prof. die von Dir verwendete Definition des
Begriffes Umkehrfunktion zugrundelegt, und ist plötzlich verwirrt, wieso da
davon geredet wird, dass eine nicht surjektive Funktion plötzlich eine
Umkehrfunktion haben soll... nun ja: Bei der anderen Definition "surjektiviert"
man halt, wenn man eine "nur" injektive Funktion hat, und hat dann das
"altbekannte".
P.S. Die von Dir zitierte Definition findet man - wie sollte es auch anders
sein - auch im Heuser. 
P.P.S. Vielleicht sollte man in diesem Sinne auch mal Wiki, Umkehrfunktion
ergänzen, dass es da wenigstens zwei verschiedene Auffassungen dieses
Begriffes gibt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 So 21.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> Was bedeutet dass für die Wertemenge von f in y und die
> Definitionsmenge von g in X?
Was verstehst du unter einer "Definitionsmenge von g in X" für eine Abbildung [mm] $g\colon Y\to [/mm] X$?
Welche Aussage über die Wertemenge von $f$ schwebt dir vor?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 21.04.2013 | | Autor: | heinze |
Das macht mich jetzt wieder stutzig, denn wenn [mm] g:Y\to [/mm] X dann müsste die Definitionsmenge ja ein Element aus Y sein! Richtig?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 21.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo heinze,
> Das macht mich jetzt wieder stutzig, denn wenn [mm]g:Y\to[/mm] X
> dann müsste die Definitionsmenge ja ein Element aus Y
> sein! Richtig?
Nein. Die Definitionsmenge von g ist Y.
Viele Grüße
Tobias
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