Abbildung mit 2 Variablen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 31.10.2007 | | Autor: | schurl87 |
| Aufgabe | 9. Wir definieren eine Abbildungen f : [mm] \IR^2 [/mm] → [mm] \IR^2 [/mm] durch
f(x, y) = (2x + 3y, x + 2y) .
Zeigen Sie, dass die Abbildung f ist bijektiv ist, und bestimmen Sie die
inverse Abbildung f^−1.
Rechnen Sie explizit nach, dass gilt
f ◦ f−1(x, y) = (x, y), [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \varepsilon \IR^2
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie, das lineare Gleichungssystem
2x + 3y = a
x + 2y = b
hat für alle (a, b) [mm] \varepsilon \IR^2 [/mm] eine eindeutige Lösung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie kann man bei der Aufgabe die Bijektivität beweisen. Ich hbe leider überhaupt keine Ahnung was ich bei dem Bsp. machen soll.
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Hallo...
Zur Bijektivität:
Klar, zeige, dass f injektiv und surjektiv ist
zur surj: nehme dir einen "beliebigen" Punkt, mit den Koordinaten a und b. Jetzt musst du schauen, ob deine Funktion diesen Punkt abbilden kann, d.h. dass ein Urbild dazu existiert.
f(x,y)=(a,b)
[mm] \Rightarrow [/mm] 2x+3y=a und x+2y=b [mm] \Rightarrow [/mm] x=b-2y [mm] \Rightarrow [/mm] 2b-4y+3y=a [mm] \Rightarrow [/mm] y=2b-a [mm] \Rightarrow [/mm] x=b-4b+2a=2a-3b
da a und b beliebig waren siehst du, dass man zu jedem Punkt ein Urbild findet [mm] \Rightarrow [/mm] f(x,y) ist surjektiv
zur inj: [mm] f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \Rightarrow (x_1,y_1)=(x_2,y_2) [/mm] dass ist zuzeigen, also fangen wir an...
[mm] f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \Rightarrow 2x_1+3y_1=2x_2+3y_2 [/mm] und [mm] x_1+2y_1=x_2+2y_2 [/mm] so jetzt probiere mal weiter zurechnen [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow x_1=x_2 [/mm] und [mm] y_1=y_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] bijektiv
So, bis später...
Tschüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 31.10.2007 | | Autor: | schurl87 |
Danke für die Hilfe!!!!
Hab aber noch eine Frage, und zwar wie kann man jetzt die Umkehrfunktion machen?
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Ok...
Also wenn [mm] f^{-1} [/mm] eine UKF, dann ist f [mm] \cric f^{-1}=(x,y)=f^{-1} \circ [/mm] f, somit kannst du ein Lineares Gleichungssystem aufstellen...
[mm] f^{-1}(x,y)=(ax+by,cx+dy) [/mm] (a,b,c,d sind gesucht...)
Warum muss [mm] f^{-1} [/mm] diese Form haben, d.h. warum ist [mm] f^{-1} [/mm] linear??? Das liegt daran, dass f linear und bijektiv ist, dass besagt ein Satz...)
Jetzt musst du das LGS lösen
f(x,y) [mm] \circ f^{-1}(x,y) [/mm] = f((ax+by,cx+dy)) = (2(ax+by)+3(cx+dy),(ax+by)+2(cx+dy))=(x,y)
[mm] f^{-1}(x,y) \circ [/mm] f(x,y) = [mm] f^{-1}(2x+3y,x+2y) [/mm] = (a(2x+3y)+b(x+2y),c(2x+3y)+d(x+2y)) = (x,y)
Alles bissl Schreibarbeit...
Jetzt hast du 4 Gleichungen und 4 Unbekannte(a,b,c,d)...
Probiere mal, ob du so zum Ziel kommst...
Tschüß sagt Röby
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