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| Aufgabe | | Sei $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung. Zeigen Sie: Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn für jede Teilmenge $Z [mm] \subset [/mm] X$ gilt [mm] $f^{-1}(f(Z))=Z$. [/mm] |
Hi, ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter. Ich habe folgende Ansätze:
a) $f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist doch eine Funktion f(x)=y (Dies müsste doch stimmen oder?)
b) Injektiv bedeutet doch, dass jedem y der Menge Y höchstens (evtl. auch kein) x aus der Menge X zugeordnet wird.
Aber jetzt weiß ich weiß ich nicht wie ich weitermachen soll! Einen Vorschlag habe ich noch:
[mm] $f^{-1}(f(Z))=Z$ [/mm] --> [mm] $\bruch{1}{f(f(Z))}$
[/mm]
Könnt ihr mir vielleicht einen Tip geben?
Danke für euere Hilfe!
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Nee, das "hoch -1" bedeutet nur, daß die Umkehrfunktion gemeint ist.
Das heißt, man steckt hier ein paar x-Werte hinein, bekommt dadurch natürlich ein paar y-Werte heraus. Und wenn man die wieder in die Umkehrfunktion steckt, sollen wieder die ursprünglichen x-Werte raus kommen, nicht mehr und nicht weniger.
Der Teufel steckt im Detail. Betrachte mal die Parabel y=x². Du nimmst die Teilmenge {-2;+2} und steckst sie in die Parabel. Heraus kommt die Teilmenge {+4}. Die Umkehrfunktion ist [mm] x=\pm\wurzel{y} [/mm] und liefert dir tatsächlich wieder {-2;+2}. Scheint also zu gelten. ABER das muß ja auch mit JEDER Teilmenge gehen. Und wenn du nur {-2} hineinsteckst, bekommst du am Ende doch wieder {-2;+2} heraus, das ist was anderes als {-2}. Also ist die Funktion NICHT injektiv.
Soviel erstmal nur zum Verständnis.
Ich denke, ein Beweis funktioniert so ähnlich wie dieses Beispiel, da muß man sich nur etwas abstrakteres ausdenken. Allerdings bekomme ich es grade nicht hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Fr 13.10.2006 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]f: X \to Y[/mm] eine Abbildung. Zeigen Sie: Die Abbildung f
> ist genau dann injektiv, wenn für jede Teilmenge [mm]Z \subset X[/mm]
> gilt [mm]f^{-1}(f(Z))=Z[/mm].
> Hi, ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter. Ich
> habe folgende Ansätze:
Es sind leide weniger Ansätze, als vielmehr die Wiederholung des Begriffs Injektivität.
Ein paar Hilfen:
Wenn die Funktion nicht injektiv ist, gibt es doch [m]x\neq y[/m] mit [m]f(x)=f(y)[/m]. Jetzt kannst du doch eine Menge angeben, die [mm]f^{-1}(f(Z))=Z[/mm] widerspricht.
Es gilt immer [mm]Z\subset f^{-1}(f(Z))[/mm] (Beweis?). Wenn jetzt f injektiv ist, dann nehme ich ein Element von der rchten Seite, ein beliebiges. Dann gibt es dazu ein Bild, das auch im Bild von Z liegt. Was sagt uns jetzt injektivität?
SEcki
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Hi, ich habe jetzt einiges versucht, aber leider komme und komme ich nicht auf die Lösung troz der sehr guten Erklärung von Event_Horizon und dem sehr guten Tip von SEcki.
Kann mir jemand vielleicht weiter helfen oder einen Ansatz geben? Ich leider wirklich nicht drauf :-(
Ich weiß nicht was ich genau mit [mm] $f^{-1}(f(Z))=Z$ [/mm] anfangen kann.
Danke für eure Hilfe!
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Hallo,
mach Dir für eine Funktion f: X-->Y zunächst einmal klar, was [mm] f^{-1}(B) [/mm] bedeutet:
Das ist das Urbild der Menge B, alle Elemente von X, die in B abgebildet werden, die Teilmenge [mm] A\subset [/mm] X, die alle [mm] x\in [/mm] X mit [mm] f(x)\in [/mm] B enthält.
Erst wenn Du das verstanden hast (Buch, Unterlagen), hat es überhaupt Zweck, daß Du Dich mit der Aufgabe beschäftigst.
--Die Aufgabe--
Du sollst also zeigen:
Sei $ f: X [mm] \to [/mm] Y $ eine Abbildung. Zeigen Sie: Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn für jede Teilmenge $ Z [mm] \subset [/mm] X $ gilt $ [mm] f^{-1}(f(Z))=Z [/mm] $.
Wegen "genau dann" sind zwei Richtungen zu zeigen, nämlich
A. f injektiv ==> Für alle$ Z [mm] \subset [/mm] X $ gilt $ [mm] f^{-1}(f(Z))=Z [/mm] $
B. Für alle $ Z [mm] \subset [/mm] X $ gilt $ [mm] f^{-1}(f(Z))=Z [/mm] $ ==> f injektiv
Zunächst zu B.: wenn die Voraussetzung für alle Teilmengen Z gilt, gilt sie natürlich auch für alle einelementigen Teilmengen {x} mit x [mm] \in [/mm] X.
D.h. für alle x [mm] \in [/mm] X ist [mm] f^{-1} [/mm] ( f({x}))= {x} . Überleg' Dir nun, wieso hieraus die Injektivität folgt.
Zu A.: sei f injektiv und [mm] Z\in [/mm] X.
Zu zeigen ist dann zweierlei:
1. [mm] f^{-1}(f(Z))\subset [/mm] Z
und
2. Z [mm] \subset f^{-1}(f(Z))
[/mm]
Mit 1. und 2. wäre dann die Gleichheit der Mengen gezeigt.
zu 2.:
Wie schon von SEcki erwähnt, gilt 2. immer, was Du Dir bitte mit Bildchen und Stift überlegen mögest.
zu 1. Hier hast Du zu zeigen, daß jedes Element von [mm] f^{-1}(f(Z)) [/mm] in Z liegt, (unter Voraussetzung der Injektivität.)
Sei also [mm] x\in f^{-1}(f(Z)).
[/mm]
Was bedeutet das? x liegt im Urbild von f(Z).
Also ist [mm] f(x)\in [/mm] f(Z).
Was bedeutet das? Es gibt ein [mm] z\in [/mm] Z mit f(x)=f(z)
unter Zuhilfenahme der Injektivität folgt hieraus ???
Also ist [mm] x\in [/mm] ???
und somit ???
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mi 18.10.2006 | | Autor: | KnockDown |
Vielen Dank für die Erklärung. Ich werde mir diese in Ruhe die Tage durchlesen es versuchen zu verstehen! Ich melde mich nochmal!
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