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| Aufgabe | Es sei f:X ---> Y eine Abbildung zwischen Mengen X und Y. Außerdem seien M [mm] \subseteq [/mm] X sowie N [mm] \subseteq [/mm] Y Teilmengen. Zeige:
a) Es gilt stets [mm] f^{-1}(f(M)) \supseteq [/mm] M.Gleichheit gilt genau dann für alle M [mm] \subseteq [/mm] X, wenn f injektiv ist. |
</task>
Hallo,
Haben diese Aufgabe in einem Übungsblatt bekommen und ich habe keine Ahnung wie ich bei dieser Aufgabe ansetzen muss.Würde mich über eine rasche Antwort freuen
Maxwalker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei f:X ---> Y eine Abbildung zwischen Mengen X und Y.
> Außerdem seien M [mm]\subseteq[/mm] X sowie N [mm]\subseteq[/mm] Y
> Teilmengen. Zeige:
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> a) Es gilt stets [mm]f^{-1}(f(M)) \supseteq[/mm] M.Gleichheit gilt
> genau dann für alle M [mm]\subseteq[/mm] X, wenn f injektiv ist.
> Hallo,
> Haben diese Aufgabe in einem Übungsblatt bekommen und ich
> habe keine Ahnung wie ich bei dieser Aufgabe ansetzen
> muss.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schade, daß Du nicht berichtest, womit Du Schwierigkeiten hast, was Du nicht verstehst und wo Du nicht weiterkommst.
> Würde mich über eine rasche Antwort freuen
Wir könnten Dir schneller helfen, wenn wir wüßten, was ein Problem ist, und was nicht.
Jeder Beweis beginnt damit, daß man sich zunächst die einzelnen Bestandteile anschaut, und sich selbst fragt, ob man wirklich weiß, was sich dahinter verbirgt.
So kann man sich, wenn man keinen Ansatz hat, erste Ansatzpunkte verschaffen. Der Ottonormalstudent wird dazu seine Unterlagen oder ein Buch benötigen.
Weißt Du, was mit f(M) gemeint ist?
Wie ist [mm] f^{-1}(N) [/mm] definiert?
Welche Elemente liegen in [mm] f^{-1}(f(M)) [/mm] ?
Ich bin ein Bildermaler und kann das jedem nur wärmstens empfehlen.
Mal Dir einmal eine kleine Mengen X aus Pünktchen (Pünktchen senrecht untereinander,damit's fein übersichtlich bleibt.) Ein Stück entfernt eine etwas größere Pünktchenmenge Y. Nun die Funktionspfeile. Auf einigen Zielen sollen zwei oder mehrere landen.
A. Nun nimm Dir eine Teilmenge M von X. Guck Dir f(M) an. Jetzt [mm] f^{-1}(f(M)).
[/mm]
Wenn Du das (im Zweifelsfalle mehrmals mit verschiedenen Teilmengen M) getan hast, sollte Dir Gültigkeit der Aussage M [mm] \subseteq f^{-1}(f(M)) [/mm] klar geworden sein.
Im Beweis mußt Du zeigen, daß jedes Element von M in [mm] f^{-1}(f(M)) [/mm] liegt.
Starte mit
Sei x [mm] \in [/mm] M
==> f(x) [mm] \in [/mm] ...
B. Zur Gleichheit bei vorausgesetzter Injektivität ist dann noch die umgekehrte Richtung zu zeigen, also f injektiv ==> [mm] f^{-1}(f(M)) \subseteq [/mm] M.
Diesem muß aber vorausgehen ein Nachdenken über Injektivität.
Wie ist "injektiv" definiert? Was bedeutet "injektiv" anschaulich?
Der nächste Schritt wäre, die Aussage mit einem Bildchen zu visualisieren und nach Verständnis des Sachverhaltes zu beweisen.
C. Anschließend muß noch die umgekehrte Richtung folgen, also [mm] f^{-1}(f(M)) \subseteq [/mm] M. ==> f injektiv.
Viel Erfolg.
Gruß v. Angela
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