Abbildungen: Surjektiv, Inj... < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Mo 02.12.2013 | | Autor: | flo1191 |
| Aufgabe | Betrachte die Abbildung
[mm] \varnothing [/mm] : [mm] \mathbb{Z} [/mm] x [mm] (\mathbb{Z} [/mm] \ [mm] \{0\}) \rightarrow \mathbb{Q}
[/mm]
(a, b) [mm] \mapsto \frac{a}{b}
[/mm]
(a) Ist diese Abbildung injektiv, surjektiv oder gar bijektiv?
(b) Beschreiben Sie das Urbild [mm] \varnothing^{-1}(x) [/mm] der rationalen Zahl x [mm] \in \mathbb{Q}. [/mm] |
Hallo Leute.
Mal wieder stockt's bei uns :-(
Wir wissen zwar, was injektiv etc. ist, aber dennoch kommt leider niemand mit dieser Aufgabe wirklich klar...
Kann jemand Starthilfe geben? :)
Danke!
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 00:18 Di 03.12.2013 | | Autor: | CJcom |
> Betrachte die Abbildung
> [mm]\varnothing[/mm] : [mm]\mathbb{Z}[/mm] x [mm](\mathbb{Z}[/mm] \ [mm]\{0\}) \rightarrow \mathbb{Q}[/mm]
>
> (a, b) [mm]\mapsto \frac{a}{b}[/mm]
>
> (a) Ist diese Abbildung injektiv, surjektiv oder gar
> bijektiv?
Hallo flo,
> (b) Beschreiben Sie das Urbild [mm] \varnothing^{-1}(x)[/mm] der
> rationalen Zahl x [mm]\in \mathbb{Q}.[/mm]
> Hallo Leute.
> Mal wieder stockt's bei uns :-(
> Wir wissen zwar, was injektiv etc. ist, aber dennoch kommt
> leider niemand mit dieser Aufgabe wirklich klar...
>
> Kann jemand Starthilfe geben? :)
>
> Danke!
Was bedeutet injektiv/ surjektiv und bijektiv denn?
Injektiv bedeutet anschaulich im Prinzip, dass jedes Element der Definitionsmenge auf einen einzigen Wert in der Zielmenge abgebildet wird.
Surjektiv, dass jeder Wert in der Zielmenge angenommen wird von mindestens einem Wert der Definitionsmenge.
Falls oben beschriebene Abbildung nicht injektiv/surjektiv sein sollte, reicht ja ein Gegenbeispiel.
Überlege dir erst einmal - was hier recht leicht ersichtlich ist - ob die Abbildung injektiv und/ oder surjektiv ist.
Gruß
Carsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Di 03.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Betrachte die Abbildung
> > [mm]\varnothing[/mm] : [mm]\mathbb{Z}[/mm] x [mm](\mathbb{Z}[/mm] \ [mm]\{0\}) \rightarrow \mathbb{Q}[/mm]
>
> >
> > (a, b) [mm]\mapsto \frac{a}{b}[/mm]
> >
> > (a) Ist diese Abbildung injektiv, surjektiv oder gar
> > bijektiv?
> Hallo flo,
>
> > (b) Beschreiben Sie das Urbild [mm] \varnothing^{-1}(x)[/mm] der
> > rationalen Zahl x [mm]\in \mathbb{Q}.[/mm]
> > Hallo Leute.
> > Mal wieder stockt's bei uns :-(
> > Wir wissen zwar, was injektiv etc. ist, aber dennoch
> kommt
> > leider niemand mit dieser Aufgabe wirklich klar...
> >
> > Kann jemand Starthilfe geben? :)
> >
> > Danke!
>
> Was bedeutet injektiv/ surjektiv und bijektiv denn?
> Injektiv bedeutet anschaulich im Prinzip, dass jedes
> Element der Definitionsmenge auf einen einzigen Wert in der
> Zielmenge abgebildet wird.
Das ist Unsinn !
FRED
> Surjektiv, dass jeder Wert in der Zielmenge angenommen
> wird von mindestens einem Wert der Definitionsmenge.
> Falls oben beschriebene Abbildung nicht injektiv/surjektiv
> sein sollte, reicht ja ein Gegenbeispiel.
> Überlege dir erst einmal - was hier recht leicht
> ersichtlich ist - ob die Abbildung injektiv und/ oder
> surjektiv ist.
>
> Gruß
>
> Carsten
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 10:03 Di 03.12.2013 | | Autor: | Diophant |
HalloCJcom,
um dem Beitrag von FRED mal noch mehr Gewicht zu verleihen:
> Injektiv bedeutet anschaulich im Prinzip, dass jedes
> Element der Definitionsmenge auf einen einzigen Wert in der
> Zielmenge abgebildet wird.
Das ist völlig falsch. Injektiv bedeutet einfach nur
[mm] x_1\ne{x_2}\Rightarrow{f(x_1})\ne{f(x_2)}
[/mm]
Verbal: zwei unterschiedlichen Elementen des Urbilds (Definitionsmenge) werden in jdem Fall zwei unterschiedliche Bildelemente (Funktionswerte, Werte aus der Zielmenge) zugeordnet.
Gruß, Diophant
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