Abbildungen bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie geeignete C [mm] \in O(3,\IR) [/mm] mit det(C)=1 und d ßin [mm] \IR_{3} [/mm] derart, dass für die Abbildung F: [mm] \IR_{3} \to \IR_{3}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Cx+d gilt: F(p) = [mm] (0,0,0)^{T}, F(q)=(0,d,0)^{T} [/mm] und F bildet die Gerade G= [mm] (3,3,2)^{T}+ \IR (1,2,2)^{T} [/mm] auf die [mm] x_{3} [/mm] -Achse ab. [mm] p=(2,1,0)^{T}, q=(4,2,-2)^{T} [/mm] |
Hallo an alle! Ich habe die Lösung, finde sie aber sehr kurz. Zumindest fehlen mir einige Punkte zum Verstehen.
In der Lösung steht:
Den vorgegebenen Richtungsvektor von G erhält man als den Verbindungsvektor r-p für [mm] r=(3,2,2)^{T}. [/mm] Da die Bewegung F Äbstände erhalten muss, bilden wir r auf [mm] (0,,0,3)^{T} [/mm] ab, und da sie zusätzlich orientierungserhaltend sein soll (wegen der (C)=1), bilden wir schließlich den Richtungsvektor [mm] (q-p)x((r-p)=(2,1,.2)^{T} [/mm] x [mm] (1,2,2)^{T} [/mm] = [mm] (6,-6,3)^{T} [/mm] = s-p für s= [mm] (8,-5,3)^{T} [/mm] auf [mm] (0,3,0)^{T} [/mm] x [mm] (0,0,3)^{T} =(9,0,0)^{T} [/mm] ab. Damit ist die Bewegung eindeutig festgelegt: Setzen wir [mm] \underline{F} [/mm] := [mm] \pmat{ C & d \\ 0 & 1 } \in \IR [/mm] ^{4x4}, so gilt [mm] \underline{F} [/mm] * [mm] \underline{x}=\underline{F(x)}, [/mm] wobei [mm] \underline{x} [/mm] den Vektor [mm] \vektor{x \\ 1} [/mm] bezeichnet), und unsere Vorgaben übersetzen sich in die Matrixgleichung
[mm] \underline{F}* \underbrace{\pmat{ 2 & 4 & 3& 8 \\ 1 & 2 & 3 & -5 \\ 0 & -2 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\}}_{=:R} [/mm] = [mm] \underbrace{\pmat{ 0 & 0 & 0& 9 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\}}_{=:L} [/mm]
Mein Problem fängt schon bei r abbilden auf [mm] (0,0,3)^{T} [/mm] an. Was bedeutet Abstände erhalten? Eigentlich der ganze Rest ist mir unklar?
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie geeignete C [mm]\in O(3,\IR)[/mm] mit det(C)=1 und d
> [mm] \in[/mm] [mm]\IR_{3}[/mm] derart, dass für die Abbildung F: [mm]\IR_{3} \to \IR_{3},[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] Cx+d gilt: F(p) = [mm](0,0,0)^{T}, F(q)=(0,d,0)^{T}[/mm]
> und F bildet die Gerade G= [mm](3,3,2)^{T}+ \IR (1,2,2)^{T}[/mm] auf
> die [mm]x_{3}[/mm] -Achse ab. [mm]p=(2,1,0)^{T}, q=(4,2,-2)^{T}[/mm]
> Hallo
> an alle! Ich habe die Lösung, finde sie aber sehr kurz.
> Zumindest fehlen mir einige Punkte zum Verstehen.
> In der Lösung steht:
> Den vorgegebenen Richtungsvektor von G erhält man als den
> Verbindungsvektor r-p für [mm]r=(3,2,2)^{T}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das müsste lauten: [mm]r=(3,\red{3},2)^{T}.[/mm]
< Da die Bewegung F
> Äbstände erhalten muss, bilden wir r auf [mm](0,,0,3)^{T}[/mm] ab,
> und da sie zusätzlich orientierungserhaltend sein soll
> (wegen der (C)=1), bilden wir schließlich den
> Richtungsvektor [mm](q-p)x((r-p)=(2,1,.2)^{T}[/mm] x [mm](1,2,2)^{T}[/mm] =
der erste Vektor lautet: $\ q-p\ =\ [mm] (2,1,\red{-2})^T$
[/mm]
> [mm](6,-6,3)^{T}[/mm] = s-p für s= [mm](8,-5,3)^{T}[/mm] auf [mm](0,3,0)^{T}[/mm] x
> [mm](0,0,3)^{T} =(9,0,0)^{T}[/mm] ab. Damit ist die Bewegung
> eindeutig festgelegt: Setzen wir [mm]\underline{F}[/mm] := [mm]\pmat{ C & d \\ 0 & 1 } \in \IR[/mm]
> ^{4x4}, so gilt [mm]\underline{F}[/mm] *
> [mm]\underline{x}=\underline{F(x)},[/mm] wobei [mm]\underline{x}[/mm] den
> Vektor [mm]\vektor{x \\ 1}[/mm] bezeichnet), und unsere Vorgaben
> übersetzen sich in die Matrixgleichung
> [mm]\underline{F}* \underbrace{\pmat{ 2 & 4 & 3& 8 \\ 1 & 2 & 3 & -5 \\ 0 & -2 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\}}_{=:R}[/mm]
> = [mm]\underbrace{\pmat{ 0 & 0 & 0& 9 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\}}_{=:L}[/mm]
>
>
> Mein Problem fängt schon bei r abbilden auf [mm](0,0,3)^{T}[/mm]
> an. Was bedeutet Abstände erhalten? Eigentlich der ganze
> Rest ist mir unklar?
Hallo MatheKrissy,
da scheint wirklich kein vollständiger Lösungsweg gezeigt zu
sein. Dass die Abbildung F Abstände erhalten muss, geht daraus
hervor, dass die Matrix C [mm]\in O(3,\IR)[/mm] mit det(C)=1
eine Drehung des Raumes darstellt. Verbunden mit der anschließenden
Verschiebung durch den Vektor d ist also F eine eigentliche Abbil-
dung des [mm] \IR^3 [/mm] auf sich selbst. Diese ist natürlich distanzerhaltend.
Damit nun eine Lösung der gewünschten Art überhaupt möglich ist,
müssen gewisse Voraussetzungen erfüllt sein. Dies muss zuerst
abgeklärt werden, was in der angegebenen Lösung fehlt. Diese
Voraussetzungen sind:
1.) der Punkt p liegt auf der Geraden G
2.) die Vektoren (q-p) und (r-p) müssen einen rechten Winkel
einschließen
In der Lösung wird offenbar ein orthogonales Dreibein (Anker-
punkt P, Spitzen Q, R, S) betrachtet, das durch die Abbildung
genau in ein axial liegendes orthogonales Dreibein mit F(P)=O(0/0/0)
und F(Q), F(R), F(S) auf den Koordinatenachsen abgebildet
werden soll.
Um sich das Ganze vorstellen zu können, ist eine geeignete
Skizze sicher nützlich.
Lassen wir's im Moment einmal bei diesen ersten Betrachtungen ...
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
|
