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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Di 25.11.2014 | | Autor: | steinole |
| Aufgabe | Ist f: M [mm] \to [/mm] N injektiv und/oder surjektiv?
Für M = [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IN (\IN [/mm] ohne Null), N = [mm] \IQ
[/mm]
[mm] (x, y) \mapsto \bruch {x} {y * (y+1)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und könnte Tipps gebrauchen.
Hier meine Ansätze:
Injektivität:
Um zu zeigen, dass f injektiv ist, muss ich zeigen, dass bei einem gleichen Abbild auch die Werte gleich sind.
Also: [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] (Wie erklärt man sich das?)
[mm] \bruch {x_1} {y_1 (y_1+1)} = \bruch {x_2} {y_2 (y_2+1)} [/mm]
[mm] \bruch {x_1} {x_2} = \bruch {y_1 (y_1+1)} {y_2 (y_2+1)} [/mm]
und weiter? Bringt mir das bisher überhaupt was?
Für einen Beweis, dass es nicht injektiv ist, habe ich kein Beispiel gefunden.
Surjektivität:
Man braucht ein y für das gilt: f(x) = y.
Also: [mm] \bruch {x} {y (y+1)} = y [/mm] nach x auflösen?
x = [mm] y^3 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ?
Schwer vorstellbar, dass das ausreicht.
Bin für jede Hilfe dankbar.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Di 25.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich muss gleich weg, daher nur ganz kurz. Ich lese es so: $x [mm] \in \IZ$ [/mm] und $y [mm] \in \IN$.
[/mm]
>
> [mm]\bruch {x_1} {x_2} = \bruch {y_1 (y_1+1)} {y_2 (y_2+1)}[/mm]
>
> und weiter? Bringt mir das bisher überhaupt was?
> Für einen Beweis, dass es nicht injektiv ist, habe ich
> kein Beispiel gefunden.
Du hast es vor der Nase.
Nachrtrag: das obige nützut nichts. setze für das eine y 2 und für das andere 3 ein. Dann bekommst Du schnell zwei Brüche mit gleichem Wert.
Setze [mm] $y_1 [/mm] = 5$ und [mm] $y_2 [/mm] = 7$. Dann ergibt sich automatisch ein Paar [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$. [/mm] Mit kurzer Erinnerung an die Anfänge der Bruchrenchung fällt Dir sicher schnell ein zweites Paar ein.
>
>
>
> Surjektivität:
> Man braucht ein y für das gilt: f(x) = y.
>
> Also: [mm]\bruch {x} {y (y+1)} = y[/mm] nach x auflösen?
>
> x = [mm]y^3[/mm] + [mm]y^2[/mm] ?
Da schmeißt Du aber die y durcheinander. Wenn, dann fang mit f(x,y) = z an. Das ist aber gar nicht zielführend. Du musst zeigen, dass Du für jedes Element aus [mm] $\IQ$ [/mm] ein Paar x,y findest. Mit dem Zähler ist das kein Problem, aber der Nenner wird immer gerade. Kann man das mit Hilfe des Zählers in Ordnung bringen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Di 25.11.2014 | | Autor: | steinole |
So wirklich weiter bringt mich das gerade leider nicht.
Injektivität:
Wenn ich für [mm] y_1 [/mm] = 5 und [mm] y_2 [/mm] = 7 einsetze, ergeben sich [mm] x_1 [/mm] = 30 und [mm] x_2 [/mm] = 56.
Das kann ich für sämtliche y [mm] \in \IN [/mm] machen. Ich finde gerade nur kein [mm] y_1, [/mm] wo [mm] x_1 [/mm] = 0 werden könnte, aber das bringt mir doch auch nichts?
Wenn ich in x = 0 setze, kommt für f(x,y) immer 0 raus und f ist nicht injektiv?
Zur Surjektivität:
Dass der Nenner immer gerade wird, aber man auch ungerade Nenner braucht, könnte man doch mit dem Zähler wieder in Ordnung bringen.
Wenn ich einen ungeraden Nenner haben möchte, muss ich den Zähler so wählen, dass man Zähler und Nenner kürzen kann. Beispiel: 2/10 = 1/5. Doch wie beweise ich damit die Surjektivität für f?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Di 25.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> So wirklich weiter bringt mich das gerade leider nicht.
>
> Injektivität:
>
> Wenn ich für [mm]y_1[/mm] = 5 und [mm]y_2[/mm] = 7 einsetze, ergeben sich
> [mm]x_1[/mm] = 30 und [mm]x_2[/mm] = 56.
> Das kann ich für sämtliche y [mm]\in \IN[/mm] machen. Ich finde
> gerade nur kein [mm]y_1,[/mm] wo [mm]x_1[/mm] = 0 werden könnte, aber das
> bringt mir doch auch nichts?
> Wenn ich in x = 0 setze, kommt für f(x,y) immer 0 raus und
> f ist nicht injektiv?
Ja, es ist f(0,y)=0 für alle y [mm] \in \IN. [/mm] Damit ist f nicht injektiv.
>
>
> Zur Surjektivität:
>
> Dass der Nenner immer gerade wird, aber man auch ungerade
> Nenner braucht, könnte man doch mit dem Zähler wieder in
> Ordnung bringen.
>
> Wenn ich einen ungeraden Nenner haben möchte, muss ich den
> Zähler so wählen, dass man Zähler und Nenner kürzen
> kann. Beispiel: 2/10 = 1/5. Doch wie beweise ich damit die
> Surjektivität für f?
Es genügt zu zeigen:
1. zu [mm] n\in \IN [/mm] gibt es ein [mm] (x_1,y_1) \in \IZ \times \IN [/mm] mit [mm] f(x_1,y_1)=n
[/mm]
Edit: 1.braucht man nicht.
2. zu [mm] n\in \IN [/mm] gibt es ein [mm] (x_2,y_2) \in \IZ \times \IN [/mm] mit [mm] f(x_2,y_2)=1/n
[/mm]
FRED
>
>
> mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Di 25.11.2014 | | Autor: | steinole |
Aber warum genügt dies zu zeigen?
Der Zähler kann doch negativ sein, weil x [mm] \in \IZ. [/mm] Ansonsten ist es wie bei der Injektivität.
Es gibt kein n [mm] \in \IN, [/mm] sobald [mm] x_1 [/mm] = 0 ist. Und damit wäre es nicht surjektiv?
Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Di 25.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aber warum genügt dies zu zeigen?
Es genügt sogar, nur das
2. zu $ [mm] n\in \IN [/mm] $ gibt es ein $ [mm] (x_2,y_2) \in \IZ \times \IN [/mm] $ mit $ [mm] f(x_2,y_2)=1/n [/mm] $
zu zeigen !
Klar: 0 [mm] \in f(\IZ \times \IN)
[/mm]
Wir nehmen an, dass 2. gezeigt ist.
Sei r [mm] \in \IQ [/mm] und r [mm] \ne [/mm] 0. Dann ex. m [mm] \in \IZ [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] r=\bruch{m}{n}
[/mm]
nach 2. ex. $ [mm] (x_2,y_2) \in \IZ \times \IN [/mm] $ mit $ [mm] f(x_2,y_2)=1/n [/mm] $
Dann ist [mm] f(m*x_2,y_2)=\bruch{m}{n}=r, [/mm] also r [mm] \in f(\IZ \times \IN)
[/mm]
Fazit: [mm] f(\IZ \times \IN)= \IQ.
[/mm]
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> Der Zähler kann doch negativ sein, weil x [mm]\in \IZ.[/mm]
> Ansonsten ist es wie bei der Injektivität.
>
> Es gibt kein n [mm]\in \IN,[/mm] sobald [mm]x_1[/mm] = 0 ist. Und damit wäre
> es nicht surjektiv?
Was ist los ?
FRED
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> Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch.
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> mfg
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