Abbildungen in topol. Räumen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Di 14.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](X,\{\emptyset,X\}[/mm] eine Menge
das macht keinen Sinn: [mm] $X\,$ [/mm] ist die Menge, die sicher auch nicht leer sein soll,
und [mm] $\{\emptyset,X\}$ [/mm] ist die Topologie auf [mm] $X\,.$ [/mm] Das Paar [mm] $(X,\{\emptyset,X\})$ [/mm] ist der topologische
Raum, d.h. die Menge [mm] $X\,$ [/mm] wird ausgestattet mit der trivialen Topologie.
> mit der trivialen
> Topologie und (Y,d) ein beliebiger Hausdorff topologischer
> Raum. Bestimmen Sie alle stetigen Abbildungen [mm]\phi:[/mm] X [mm]\to[/mm] Y.
> Hallo 
>
> Sitze leider schon sehr lange an dieser Aufgabe und mir
> fehlt irgendwie die zündende Idee
> Gibt es überhaupt eine stetige Abbildung? Denn zu jeden
> [mm]\phi(a) \in[/mm] Y existiert offene Menge V [mm]\subset[/mm] Y. Und
> [mm]\phi^-1(V) \subset[/mm] X. Und dies ist nicht offen, da nur
> entweder ganz X oder die leere Menge offen ist.
> Bin mir irgendwie nicht so recht sicher..
>
> Schonmal vielen Dank für die Hilfe
Okay, sei [mm] $\phi \colon [/mm] X [mm] \to Y\,$ [/mm] stetig. Seien [mm] $x_1,x_2 \in X\,,$ $y_1:=\phi(x_1),\;y_2:=\phi(x_2)$ [/mm] und es gelte zunächst
(Annahme!) [mm] $y_1 \not=y_2\,.$ [/mm] Da [mm] $Y\,$ [/mm] hausdorffsch ist, gibt es [mm] $V_j \in [/mm] d$ mit [mm] $y_j \in V_j \in d\,$ [/mm] für [mm] $j=1,2\,,$
[/mm]
wobei [mm] $V_1 \cap V_2=\emptyset$!
[/mm]
Daraus folgt, dass die [mm] $U_j:=\phi^{-1}(V_j)$ [/mm] beide nicht leer sein können, denn es ist
ja [mm] $x_1 \in U_1\,$ [/mm] und [mm] $x_2 \in U_2\,.$ [/mm] Also muss [mm] $U_1=X=U_2$ [/mm] folgen! Das widerspricht aber...?
Wir wissen also schonmal:
Wenn ein solches stetiges [mm] $\phi$ [/mm] existiert, so folgt für alle [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ sofort [mm] $\phi(x_1)=\phi(x_2)\,.$
[/mm]
Also Stetigkeit impliziert "Konstantheit". (Ist Dir das klar?)
Umgekehrt: Sind denn konstante Funktionen hier stetig? (Tipp: Sie werden
es sein!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 14.05.2013 | | Autor: | Topologe |
Danke für die schnelle Antwort
Hm,
liegt die Konstantheit darin begründet, dass von einer offenen Menge U [mm] \subset [/mm] X nur in eine einzige andere offene Menge V [mm] \subset [/mm] Y abgebildet werden darf?
LG
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> Danke für die schnelle Antwort
>
> Hm,
> liegt die Konstantheit darin begründet, dass von einer
> offenen Menge U [mm]\subset[/mm] X nur in eine einzige andere offene
> Menge V [mm]\subset[/mm] Y abgebildet werden darf?
>
> LG
Was ist jetzt die genaue Frage? Warum die Konstantheit folgt, wenn Stetigkeit angenommen wird? Nein, das liegt an dem, was Marcel schon geschrieben. Im Allgemeinen bildet so eine Funktion in verdammt viele offene Mengen ab, nämlich alle offenen Umgebungen des angenommenen Wertes, was ziemlich viel sein können, wenn man sich zum Beispiel die reelle Ebene vorstellt. Mal dir doch einfach mal ein Bild. Auf der einen Seite hast du X, nur einen fetten Klumpen einer offenen Menge (wenn wir von der leeren Menge mal absehen). Diese bildet in einen Hausdorffraum Y ab. Wenn die zwei verschiedene Werte annimmt, kannst du offene Umgebungen um sie hinmalen, die sich nicht schneiden. Da sie beide einen Wert beinhalten, der angenommen wird, können die Urbilder nicht leer sein, sie können aber auch nicht alles sein, da ja mindestens ein Wert auf ein anderes Element abgebildet wird. Da soll nun aber beides in X offen sein, na da gibts aber nur den Klumpen. Das kann nicht sein.
Wenn es darum geht, warum konstante Abbildungen stetig sind (und das gilt immer!): Nehm dir eine offene Menge und unterscheide, ob sie den angenommenen Wert beinhaltet oder nicht und guck dir ihr Urbild an. Eine Topologie enthält zwanghaft gerade mindestens das, was konstante Abbildungen stetig macht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 14.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort
>
> Hm,
> liegt die Konstantheit darin begründet, dass von einer
> offenen Menge U [mm]\subset[/mm] X nur in eine einzige andere offene
> Menge V [mm]\subset[/mm] Y abgebildet werden darf?
1.) Salamence hat ja quasi schon alles gesagt. Ich mach' es der Deutlichkeit
wegen noch ein wenig formaler:
Es war [mm] $V_1 \cap V_2=\emptyset\,,$ [/mm] und [mm] $y_1=\phi(x_1) \in V_1$ [/mm] und [mm] $y_2=\phi(x_2) \in V_2\,.$ [/mm] Wir hatten [mm] $X=\phi^{-1}(V_1)=\phi^{-1}(V_2)$ [/mm]
gefolgert. Wegen [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ ist dann aber [mm] $\{\phi(x_1),\,\phi(x_2)\}=\{y_1,y_2\} \subseteq V_1$ [/mm] (und auch
[mm] $\{\phi(x_1),\,\phi(x_2)\}=\{y_1,y_2\} \subseteq V_2$) [/mm] - ist Dir das klar?
Was ist nun der Widerspruch (zur Annahme [mm] $y_1 \not=y_2$)?
[/mm]
2.) Ist Dir nicht klar, wieso, wenn [mm] $\phi(x_1)=\phi(x_2)$ [/mm] für alle [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] X$ gilt, dann
[mm] $\phi=\text{konstant}$ [/mm] folgt?
Nunja, straight forward: Sei zunächst - natürlich für $X [mm] \not=\emptyset$ [/mm] - ein [mm] $x^{\*} \in [/mm] X$ beliebig
gewählt, aber im Folgenden stets fest (quasi Parameter). Wir definieren [mm] $C:=\phi(x^{\*})\,.$
[/mm]
Für JEDES $x [mm] \in [/mm] X$ folgt dann schon [mm] $\phi(x)=C\,$ [/mm] (warum?) und das ist auch schon alles,
was zu zeigen ist: Also [mm] $\phi=C\,$ [/mm] und damit [mm] $\phi=\text{konstant}$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Topologe |
Achso, danke für die einleuchtenden Erklärungen
Der Widerspruch besteht darin, dass im Falle der Stetigkeit [mm] y_{1} \not= y_{2} [/mm] nicht gelten kann. Also gilt [mm] y_{1} [/mm] = [mm] y_{2}, [/mm] d.h. alle Werte werden auf ein y [mm] \in [/mm] Y abgebildet [mm] \Rightarrow [/mm] Konstantheit
Gruß,
Topologe
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