Abbildungen / surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Di 10.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Gesucht ist ein Beispiel für 2 Abbildungen [mm] f, g: \IZ \to \IZ [/mm], so dass [mm] f \circ g [/mm] surjektiv ist und [mm] g \circ f [/mm] nicht surjektiv ist. |
Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Bedeutet surjektiv, dass jedes Element von g(z) von f(g(z)) mindestens 1 mal getroffen werden muss ?
Wäre dann folgendes eine Lösung:
f(z) = z
g(z) = z für alle geraden z
g(z) = 2z für alle ungeraden z
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Di 10.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Susanne!
> Gesucht ist ein Beispiel für 2 Abbildungen [mm]f, g: \IZ \to \IZ [/mm],
> so dass [mm]f \circ g[/mm] surjektiv ist und [mm]g \circ f[/mm] nicht
> surjektiv ist.
> Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Bedeutet surjektiv, dass jedes Element von g(z) von
> f(g(z)) mindestens 1 mal getroffen werden muss ?
So verstehe ich die Frage nicht. Surjektiv bedeutet, daß jedes Element des Wertevorrats Bild eines Elementes des Definitionsbereichs ist.
> Wäre dann folgendes eine Lösung:
> f(z) = z
> g(z) = z für alle geraden z
> g(z) = 2z für alle ungeraden z
f als Identität kommutiert mit allen anderen Abbildungen, d. h. f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f, was wiederum heißt, daß beide surjektiv sind oder keine. Das kann also so nicht stimmen.
Nimm mal g(z) = 3z und f(z) = [mm] [\bruch{z}{3}] [/mm] (ganzer Anteil von z/3)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 10.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
Guten Tag Dieter !
VIELEN DANK für Deine schnelle Hilfe !
Bedeutet das dann, dass der Wertebereich die kompletten ganzen Zahlen beinhalten muss, nicht nur einen Bereich daraus ? Und da in Deinem Beispiel bei g(f(z)) z.B die 1 nicht im Wertebereich vorkommt, ist diese Funktion nicht surjektiv !?
Gruss und Dank, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Di 10.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Susanne,
ja, eine Funktion f von X nach Y heißt surjektiv, wenn jedes y aus Y mindestens einmal getroffen wird.
(injektiv, wenn es höchstens einmal getroffen wird)
also bei dir müssen alle ganzen Zahlen als Bild vorkommen, damit die (zusammengesetzte) Funktion surjektiv ist.
ein beispiel wurde dir ja schon genannt
(bei übungsaufgaben aber immer möglichst vollständig antworten, also auch begründen, warum '1' nicht als Bild vorkommt...)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Di 10.10.2006 | | Autor: | SusanneK |
Guten Abend DaMenge,
VIELEN DANK für Deine Hilfe und Deinen Tipp !
Hier noch die Erklärung für die fehlende 1:
Da nur ganze Werte als Bilder vorkommen können, und bei der Komposition g(f(z)) die Abbildung g(z) am Ende mit 3 multipliziert, kann z.B. nie die 1 abgebildet werden, weil die kleinste positive ganze Zahl aus f(z) = 1 ist, mit 3 multiplizerit = 3 ergibt.
Einen Gruss und vielen Dank, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mi 11.10.2006 | | Autor: | diego |
Hallo,
was bedeutet ganzer Anteil von [z/3]?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 11.10.2006 | | Autor: | statler |
Hey Yvonne!
> Hallo,
>
> was bedeutet ganzer Anteil von [z/3]?
>
> Danke
Das (also [z/3]) ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich z/3 ist.
Für z = 3 ist das 1, für z = 4 auch, für z = -1 ist das -1.
Das kann man sich auch gut auf der Zahlengeraden verdeutlichen.
Schönen Feierabend
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Sashman |
| Aufgabe | | Die Aufgabenstellung ist die selbe wie ber der Suse |
Habe mir obenstehendes zu Herzen genommen und die Frage mit einem ähnlichen Beispiel beantwortet nur bin ich mir unsicher ob ich das ganze mathematisch exakt aufgeschrieben habe. Würde mich freuen wenn das mal jemand überfliegt und mir Fehler aufzeigt.
[mm] $[*]:=\IR\to\IZ [/mm] $
$[x] =n$ [mm] $n\in\IZ$ [/mm] mit $ [mm] n\le [/mm] x<n+1$
insbesondere gilt: $[x]=x$ [mm] $\forall x\in\IZ$
[/mm]
sei nun [mm] $f(x)=\big[\frac{x}{2}\big]$ [/mm] und $g(x)=2x$
dann ist
[mm] $k=f\circ g=f(g(x))=f(2x)=\big[\frac{2x}{2}\big]=[x]=x$
[/mm]
Sei [mm] $y\in\IZ$. [/mm] Setze $y=x$ dann liegt auch [mm] $x\in\IZ$ [/mm] dann ist:
$k(x)=k(y)=f(g(y))=f(2y)=[y]=y$ also k surjektiv.
[mm] $k'=g\circ f=g(f(x)=g(\big[\frac{x}{2}\big])=2*\big[\frac{x}{2}\big]=y$
[/mm]
nach Definition von $[*]$ ist:
[mm] $n$=\big[ \frac{x}{2} \big] $\in\IZ$ [/mm] mit [mm] n\le\frac{x}{2}
also $y=2n$ [mm] $\forall x\in\IZ$
[/mm]
sei nun y=1 damit liegt [mm] $y\in\IZ$
[/mm]
dann ist aber [mm] $n=\frac{1}{2}$ [/mm] wegen [mm] $\frac{1}{2}\not\in\IZ$ [/mm] Widerspruch zur Definition von $[*]$
$y=1$ hat kein Urbild in $k'$ also $k'$ nicht surjektiv.
Dank im voraus
Sashman
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Hallo und guten Morgen,
>
> [mm][*]:=\IR\to\IZ[/mm]
>
> [mm][x] =n[/mm] [mm]n\in\IZ[/mm] mit [mm]n\le x
>
> insbesondere gilt: [mm][x]=x[/mm] [mm]\forall x\in\IZ[/mm]
>
> sei nun [mm]f(x)=\big[\frac{x}{2}\big][/mm] und [mm]g(x)=2x[/mm]
>
> dann ist
>
> [mm]k=f\circ g=f(g(x))=f(2x)=\big[\frac{2x}{2}\big]=[x]=x[/mm]
Es ist also k= die Identität auf [mm] \IZ, [/mm] somit ist k surjektiv.
>
> Sei [mm]y\in\IZ[/mm]. Setze [mm]y=x[/mm] dann liegt auch [mm]x\in\IZ[/mm] dann ist:
Das ist formal nicht ganz ok. Wenn y [mm] \in \IZ [/mm] gewählt ist, kannst Du nicht im nächsten Moment y=x setzen, eher schon x=y, im Sinne von x:=y.
>
> [mm]k(x)=k(y)=f(g(y))=f(2y)=[y]=y[/mm] also k surjektiv.
>
> [mm]k'=g\circ f=g(f(x)=g(\big[\frac{x}{2}\big])=2*\big[\frac{x}{2}\big]=y[/mm]
>
> nach Definition von [mm][*][/mm] ist:
>
> [mm]$n$=\big[ \frac{x}{2} \big] $\in\IZ$[/mm] mit
> [mm]n\le\frac{x}{2}
>
> also [mm]y=2n[/mm] [mm]\forall x\in\IZ[/mm]
>
Du schreibst die Definition der Floor-Funktion hin, ok, aber was leitest Du jetzt daraus ab ?
Was ist dieses y ? Willst Du zeigen, dass alle Funktionswerte von k' gerade sind ? Einverstanden mit diesem Vorhaben, denn
daraus folgt dann sofort die Nicht-Surjektivität von k', und ausserdem stimmt das, denn k'(x) [mm] =2\cdot [/mm] [x], und [mm] [x]\in\IZ, [/mm] somit ist [mm] 2\cdot [/mm] [x] eine gerade ganze Zahl.
> sei nun y=1 damit liegt [mm]y\in\IZ[/mm]
>
> dann ist aber [mm]n=\frac{1}{2}[/mm] wegen [mm]\frac{1}{2}\not\in\IZ[/mm]
> Widerspruch zur Definition von [mm][*][/mm]
>
> [mm]y=1[/mm] hat kein Urbild in [mm]k'[/mm] also [mm]k'[/mm] nicht surjektiv.
>
> Dank im voraus
>
> Sashman
Also formal isset was schwammig.
Die Idee stimmt natürlich.
Gruss,
Mathias
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