Abbildungen und Matrizen < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, liebe Mitmathmatikerinnen und Mitmathematiker!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun, mein Problem ist das ich vorm Abiturprüfung (NRW) in Mathe LK stehe und mein Lehrer in den letzten Wochen nicht regelmäßig zum Unterricht gekommen ist bzw. zu spät bzw. keinen Bock hatte, aus persönlichen Gründen (wofür er sich ja auch am letzten Schultag entschuldigt hat), also soll kein Vorwurf sein.
Jedenfalls war das zurzeit wo wir die Thematik Matrizen und Abbildungen durch genommen haben. In diesem Bereich habe ich daher, sehr viele Verständnisprobleme, trotz mehreren Mathe(-trainings)büchern (z.B. Abiturtraining von Stark oder Abi Profi Mathe).
Daher:
1. Kann mir jemand viell. ein paar Mathematikseiten nennen, die mir vielleicht da weiterhelfen? Das googeln hat nicht wirklich klarheit gebracht.
2. Weiß ich nicht wo der Unterschied zwischen Matrix, Abbildung und affine Abbildung liegt? in den Aufgaben aus den unterricht kam mir alles gleich vor.
3. Die Sache mit den Spiegeln und Drehen ist mir von Prinzip nicht klar (die Formeln habe ich).
4. Dann gab es noch eine Sache mit einem Verschiebungsvektor. Da wurde erst verschoben, dann gespiegelt und dann zurück verschoben. Leider ist in meine Aufzeichungen nicht zu erkennen wir die Aufgabe gestellt hat.
Würde mich um Antworten freuen.
Gruß
Trotz Verzweifelung der Mathefreund
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Hallo!
Quellen kann ich dir keine nennen, aber Fragen kannst du hier natürlich immer stellen!
Also, gehen wir es an!
Abbildungen / Matrizen:
Nun, eine Abbildung kann alles mögliche sein, also auch sowas wie [mm] $\vec [/mm] x [mm] \to \vec x*e^\wurzel{|\vec x|}$. [/mm] Du siehst, das ist z.B. alles andere als linear. Auch muß bei einer Abbildung nicht unbedingt wieder ein Vektor raus kommen, es kann durchaus auch eine Zahl sein, so zum Beispiel die Funktion, die die Länge liefert: [mm] $d(x)=\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^3}$
[/mm]
Nun gibt es einen Spezialfall, und das ist die lineare Abbildung. Das heißt analog zur Analysis, daß z.B. [mm] $f(\vec x)+f(\vec [/mm] y [mm] )=f(\vec [/mm] x + [mm] \vec [/mm] y)$ gilt. Und jetzt kommt noch hinzu, daß als Ergebnis immer ein Vektor sein soll.
In dem Fall kann man diese Abbildung als Matrix schreiben.
Allerdings gehört eine Matrix immer zu einem bestimmten Koordinatensystem. Ich weiß nicht, in wie fern ihr sowas wie Koordinatentransformationen gemacht habt, aber grunsätzlich kannst du dir vorstellen, daß man in ein anderes System übergeht. Beispielsweise eines in dem die Einheitsvektoren nicht mehr senkrecht aufeinander stehen. Die gleiche Abbildung hat dann eine andere Matrix.
Affine Abbildungen sind lineare Abbildungen, allerdings kommt hier noch dazu, daß man noch einen konstanten Vektor hinzuaddiert. Gehen wir nochmal zur Analysis über: lineare Abbildungen sind hier Ursprungsgraden, also y=m*x. Eine affine Abbildung erlaubt nun das Addieren einer Konstante, und damit gibt es auch nicht-Ursprungsgraden: y=mx+b
Also nochmal kurz:
Abbildungen sind erstmal sämtliche "Rechnereien".
Matrizen stellen lineare Abbildungen [mm] \IR^n\to\IR^n [/mm] in einem gegebenen Koordinatensystem dar.
Affine Abbildungen bestehen aus linearen Abbildungen plus einer Konstanten - sie sind aber selber nicht linear, und lassen sich daher nicht als eine einzelne Matrix schreiben!
Also: Der Unterschied ist insbesondere in der Schule sehr klein!
Kommen wir mal zur letzten Frage. (zur vorletzten müßtest du mal schreiben, was genau du nicht verstehst...)
Angenommen, du hast eine Punktewolke, beispielsweise die Eckpunkte für das Haus vom Nikolaus. Das Haus soll um 90° gedreht werden, und zwar mit dem linken, unteren Punkt als Drehachse.
Du kennst nun die Matrix zum Drehen um 90°, das ist [mm] \pmat{0 & 1\\ -1 & 0}. [/mm] Diese dreht beliebige Vektoren um den Ursprung!
Also mußt du dein Haus erstmal auf den Ursprung schieben. Ziehe also von allen Punkten den Vektor vom Ursprung zur linken unteren Ecke ab. Wenn du das jetzt zeichnest, sitzt dein Haus tatsächlich mit der Ecke auf dem Ursprung. Die Drehung kann nun erfolgen. Anschließend addierst du den Vektor von eben wieder, worauf hin das Haus wieder an seiner alten Position steht - allerdings gekippt.
Das ist das Ziel. Die Matrizen können drehen, spiegeln, vergrößern und verzerren, das alles aber auf den Ursprung bezogen! Man muß also seine "Figur" erstmal auf dem Ursprung platzieren, bevor man die Matrix anwenden kann. Und danach wird wieder zurückgeschoben.
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Erstmal danke für deine Antwort.
Rekapitulation:
1. Ok.
2.
Also ein Abbildung ist also das "abbilden" z.B. eines Punktes in einen anderen Bereich (z.B. spiegeln an Gerade). Und die Abbildung(-smatrix) ist dann dieser konstante Wert mit dem ich weitere Punkte "abbilden" kann. Richtig?
Die Matrix ist ja nur die äußere Form der Abbildung (aber es muss nicht immer eine Matrix sein, außer bei linerarer Abbildung.)
Affine Abbildungen sind eine Kombination aus Verschiebungsvektor (in ein Koordinatensystem mit neuen Einheitsvektoren) und einer Abbildungsmatrix (*den Punkt x)
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3.
Also im genaueren verstehe ich z.B. nicht warum ich zwei Formeln habe um zu drehen. Einmal mit -sin und einmal mit -cos.
Mir ist auch nicht klar, wie man an den Winkel kommt, um die Abbildungsmatrix zu ermitteln.
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4.
Also das verstehe ich jetzt. Man besitzt also die Formel um einen Punkt um den Ursprung zu drehen. Also verschiebt erst den Punkt, an dem gespiegelt werden soll, zum Ursprung, dreht ihn dort und verschiebt ihn zurück.
Gibt es dazu eine einfachere Formel oder sollte ich solche Aufgaben lieber in diesen 3-Schritt-Schema ausführen.
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Ich hätte da noch weitere Fragen:
1) $ [mm] \vec [/mm] x [mm] \to \vec [/mm] x $ heißt dass, x wird abbgebildet auf x? oder welche Bedeutung hat dieser Pfeil?
2) In anderen Beispielaufgaben wird immer von Basis bzw. Basen gesprochen, leider ist dieser Begriff bei uns im Unterricht zum Thema Abbildungen nicht gefallen.
3) Gibt es eine allgemeine Formel um an einer Ursprungsgerade zu spiegeln? In unseren Mathebuch gibt es nur einen Rechenweg.
Kann man diese Formel (Spiegelung eines Punktes an einer Gerade) nutzen?
Q=Lotfußpunkt
R²:
P'=P- 2d * n/Länge n
R³:
P'=P+ 2*VektorPQ
Nochmals Danke für die Antwort.
Gruß
Der Mathefreund
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Hallo,
keine Panik mit der bevorstehenden Klausur; ich muss da auch durch hehe 
Also... versuch demnächst nicht alles auf einmal zu fragen..
2. .... richtig, die Ablidungsmatrix ist also nix andres als der Mechanismus um abzubilden. [mm] (A*\vec{p}=\vec{p'}.. [/mm] so rechnet man Bildpunkte aus.. dabei ist diese Multiplikation nicht kommutativ, also auf Reihenfolge achten...)
3. Eigentlich ist das ganz einfach.... Es kommt auf die Drehrichtung an, man kann einmal in und gegen den Uhrzeigersin drehen...
Wenn das minus in der y-Koordinate des Bildes des 1. kanonischen Einheitsvektors steht, dann ist die Drehung ja im Uhrzeigersinn.
Ist das minus in der x-Koordinate des Bildes des 2. kanonischen Einheitsvektors, drehst du gegen den Uhrzeigersinn.
Wenn du dir mal die Einheitsvektoren aufmalst und drehst mit Hilfe der einen und der anderen Möglichkeit wirst du es sehen.
(Die Spalten der Abbildungsmatrix sind ja nichts anderes als die Bilder der Einheitsvektoren)
siehe auch: http://matheforum.net/read?t=246925
Um die Abbildungsmatrix einer Drehung zu ermitteln muss der Winkel natürlich angegeben sein, oder du machst es für ein allgemeines [mm] \alpha....
[/mm]
4. also diese affinen Abbildungen sind so.. genau... Um die Matrix herzuleiten bleibt dir natürlch nix andres übrig als das so zu machen...
Nun deine weiteren Fragen...
zu 1. wenn wr bei Abbildungen sind würd ich sagen ja.. x wird auf sich selbst abgebildet, ist also Fixpunkt.
zu 2. Normalerweise redet man von einer Basis des [mm] \IR^n, [/mm] wenn man n Vektoren aus [mm] \IR^n [/mm] hat die linear unabhängig sind. SIe bilden dann eine Basis dieses Raumes, da man aus diesen n Vektoren, jeden Vektor dieses Raumes durch Linearkombination basteln kann.
zu 3. im [mm] \IR^2 [/mm] gilt:
... was ist denn hier dein d?
es gilt genau das wie auch im [mm] \IR^3
[/mm]
Liebe Grüße
Andreas
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Also die Sache ist mir jetzt schon sehr verständlicher als zu Beginn. Dafür erstmal danke.
Zum 3):
Also d ist der Abstand zwischen Punkt und Gerade.
Kann ich diese Formlen nutzen oder muss ich andere Formeln benutzen?
z.B.habe ich noch eine Formel hier für die Spiegelung an Ursprungsgeraden:
[mm] \pmat{ cos*2 \alpha & sin*2 \alpha \\ sin*2 \alpha & -cos*2 \alpha }
[/mm]
Irgendwie scheine ich zu viele Formeln zu besitzen ^^
Kann viell. jemand etwas Licht ins dunkele bringen?
Gruß
Der Mathefreund
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Hallo,
deine Formeln sind so dann alle korrekt.... nur einen Tipp mal:
Versuch ncht 20 000 Formeln auswendig zu lernen. Stell dir die Aufgabe erstmal vor.. (anal. Geometire kann man sich gut bildlich vorstellen)
Dann fragste dich wo du hin willst...
und du benutzt beim Rechnen, dass was du an Informationen gegeben hast. Schütt dich nicht mit Formeln zu, sondern versuch die ganzen Zusammenhänge zu verstehen.
Wenn da steht: "Berechnen sie den Abstand...." dann musst du nicht die Formel für den Abstand rauskramen, sondern überlegen.
Es ist einfacher Zusammenhänge zu verstehen, ls sich so viele Formeln zu merken.
Viel Glück be der Klausur und liebe Grüße
Andreas
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Hi.
Also, soweit habe ich im Bereich Abbildung das wichtigste verstanden und mit paar Aufgaben wird sich das schon festigen.
Aber ich denke, dass einige Formeln doch sehr brauchbar sind für die Prüfung, zumal diese meist Zeitsparend sind. Sicherlich braucht man nicht jede Formel, aber so einige Schlüssel-Formeln in den einzelnen Bereichen können nicht schaden ^^
Eine letzte Sache noch.
Wie kann man denn eine Abbildungsmatrix erstellen, wenn die Gerade keine Ursprungsgerade ist, also einen Achsenabschnitt [mm] \not= [/mm] 0 besitzt?
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Hallo,
ganz einfach: (Ich nehme an du meninst eine Spiegelung)
wie bei jeder Abbildungsmatrix, bei jeglicher Form von Abbildung, brauchst du die Bilder der kanon. Einheitsvektoren, sie bilden de Spalten der Matrix.
Also sagst du:
[mm] e_1' [/mm] (Bild des 1. Einheitsvektors [mm] \vektor{1\\0\\0}) [/mm] liegt auf der Geraden g mit dem RV [mm] \vec{a} [/mm] (über die Idee, dass 2 orthogonale Vektoren als Skalaprodukt 0 ergeben müssen, suchst du einen der orthogonal zum RV der Spiegelgeraden ist (im [mm] \IR^2 [/mm] wäre das der Normalenvektor der Geraden)
an Hand der Geraden g stellst du einen allg. Ortsvektor auf für einen Punkt der auf g liegt [mm] (e_1' [/mm] liegt ja auf g)
Dann berechnest du den Abstand (über den Betrag von Vektoren) von [mm] e_1 [/mm] zu g. Dann den von [mm] e_1' [/mm] zu g. Da du ja den Abstand bereits hast (ist ja der glieche wie von [mm] e_1 [/mm] zu g) stellst du die Gleichung halt nach der Variablen um (kommt aus dem allg. Ortsvektor für [mm] x\in [/mm] g), setzt diese Variable in den allg. Ortsvektor ein und erhälst den BIldpunkt ovn [mm] e_1.
[/mm]
Analog machst du es für die anderen beiden Einheitsvektoren.
Dann hast du die gesuchte Abbildungsmatrix.
Liebe Grüße
Andreas
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Also, das mit der Gerade + Achsenabschnitt verstehe ich nicht, aber ich denke nicht, dass ich es unbedingt brauche. Zu Not muss man sich Mittels Skizze was einfallen lassen ^^
$ [mm] \pmat{ cos\cdot{}2 \alpha & sin\cdot{}2 \alpha \\ sin\cdot{}2 \alpha & -cos\cdot{}2 \alpha } [/mm] $
Ich verstehe diese Formel nicht. Warum brauch ich einen Winkel um an der Ursprungsgerade zu spiegeln? Oder ist das eine Formel für einen Aufgabe wo nur der Winkel bekannt ist?
Gruß
Der Mathefreund
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Hallo,
bist du sicher, dass es sich hierbei um eine Spiegelung handeln soll?
Das kann ich mehr nicht vorstellen.
Liebe Grüße
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Mo 09.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist ne Spiegelung an ner Ursprungsgeraden, die den Winkel [mm] \alpha [/mm] zur x-Achse hat.
festsettlen, was so ne Abb. tut, kann man immer wenn man das bild der 2 Basisvektoren (1,0) und (0,1) anguckt!
Gruss leduart
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Ja, ich verstehe. Okay, danke.
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Hi.
Also ich habe da noch eine weitere Frage.
Beim Verketten von Abbildungen sind die Abbildungen immer invers oder gibt es eine bestimmte Regel zum Verketten?
Z.B.
Zunächst 90° um den Ursprung drehen und dann an einer ursprungsgerade g: t* [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] spiegeln.
Die Abbildungsmatrix (gesamt) ist in dieser Aufgabe dann:
T(ges)= T(g)*T(90°)
Obwohl zuerst gedreht werden sollte.
(Aufgabe ist aus dem Schulbuch)
Das bedeutet, dass die Matrizen immer invers sind oder es eine bestimmte Reihenfolge gibt? Das war zumindest meine Überlegung.
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Hallo Mathefreund!
Ich habe jetzt nicht deine ganze Diskussion gelesen, aber ich versuche trotzdem mal, dir zu helfen.
> Beim Verketten von Abbildungen sind die Abbildungen immer
> invers oder gibt es eine bestimmte Regel zum Verketten?
Du meinst "kommutativ", oder? Invers macht hier irgendwie keinen Sinn.
> Z.B.
>
> Zunächst 90° um den Ursprung drehen und dann an einer
> ursprungsgerade g: t* [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] spiegeln.
>
> Die Abbildungsmatrix (gesamt) ist in dieser Aufgabe dann:
> T(ges)= T(g)*T(90°)
>
> Obwohl zuerst gedreht werden sollte.
> (Aufgabe ist aus dem Schulbuch)
Das ist auch genau richtig so, denn wenn du die Operationen einzeln durchführst und zuerst drehst, dann multiplizierst du ja zuerst die T(90°) Matrix mit dem, was du gegeben hast. Wenn du also z. B. eine Matrix A gegeben hast, dann berechnest du für diese Drehung: T(90°)*A. Nennen wir dieses Ergebnis mal B. Wenn du nun noch spiegelst, multiplizierst du ja die Matrix T(g) mit B. Also: T(g)*B. Das ist dann dein Ergebnis. Das wiederum ist aber das Gleiche, wie oben steht, denn:
T(g)*B=T(g)*T(90°)*A
Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
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Ja ist jetzt verständlich, danke.
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