Abbildungen und Mengen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:28 Di 25.03.2008 | | Autor: | kaoh |
| Aufgabe | Es seien X, Y und Z beliebige Mengen. Weiterhin seien f : X → Y, g : Y → Z
und h : Y → Z Abbildungen, so dass f surjektiv ist und
g ◦ f = h ◦ f
gelte. Begründen Sie, dass in dieser Situation g = h ist. |
ich weiß nicht wie man hier mathematisch korrekt argumentieren soll.
war eine klausuraufgabe und ich hab da so etwas in der art geschrieben:
da f = f ist, wird mit g und mit h jeweils das gleiche bild von f verknüpft. wenn die bilder von g ◦ f und h ◦ f gleich sind so ist auch g = h.
gabs leider nicht die volle punktzahl. also fehlt irgendetwas :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Di 25.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
du hast ja nirgends die Surjektivität von f benutzt. Das brauchst du (fast) sicher, sonst würde es dort ja nicht stehen (EDIT: Die Aussage ist zwar nicht zu 100% richtig, aber meist ist das so...)
Ich würde so vorgehen: Aus der Surjektivität von f kann man etwas folgern. Dann nehmen wir an, dass g ungleich h ist. Daraus konstruieren wir dann einen Widerspruch zu [mm] $g\circf=h\circf$ [/mm] und daraus folgern wir dann, dass schon g=h sein muss. Man kann das ganze aber auch direkt machen:
> Es seien X, Y und Z beliebige Mengen. Weiterhin seien f : X
> → Y, g : Y → Z
> und h : Y → Z Abbildungen, so dass f surjektiv ist
> und
> g ◦ f = h ◦ f
> gelte. Begründen Sie, dass in dieser Situation g = h ist.
> ich weiß nicht wie man hier mathematisch korrekt
> argumentieren soll.
>
> war eine klausuraufgabe und ich hab da so etwas in der art
> geschrieben:
>
> da f = f ist, wird mit g und mit f jeweils das gleiche bild
> von f verknüpft. wenn die bilder von g ◦ f und h
> ◦ f gleich sind so ist auch g = h.
Wenn ich ehrlich bin, verstehe ich auch nicht so ganz, was du damit sagen willst.
Ich würde das ganze dann so darstellen:
Zu Zeigen: $g(f(x))=h(f(x))$
Das ist also dann eine Abbildung von X nach Y, und dann nach Z. Deine Argumentation beinhaltet aber nicht, dass f surjektiv ist. Es kann ja sein, dass f nur einige der Werte von Y "trifft", und die beiden Abbildungen nur in dem Bereich, der von f getroffen wird, übereinstimmen.
Nehmen wir doch mal an, dass f z.B. die Werte 3 4 und 5 trifft. Aus der Info g(f(x))=h(f(x)) können wir dann nur schließen, dass die beiden Funktionen g und h bei g(3), g(4) und g(5) übereinstimmen. Sie können aber, wenn z.B. die Menge Y noch andere Werte außer 3,4,5 beinhaltet, nicht übereinstimmen. Es kann ja sein, dass [mm] $g(1)\not=h(1)$ [/mm]
Aus der Surjektivität von f kann man dann folgern, dass g und h auf allen Elementen von Y übereinstimmen. Da die Bilder der Abbildung von h und g für alle Elemente von Y übereinstimmen kann man erst sagen, dass g = h gilt.
Siehst du, dass du das nicht so gesagt hast? Du hast oben nämlich nur gesagt, dass g und h auf dem Bereich der Elemente von Y übereinstimmen, die von f getroffen werden. Hättest du dann gesagt: f ist surjektiv, daraus folgt das und das, daraus dann g=h hätte es mehr Punkte gegeben.
>
> gabs leider nicht die volle punktzahl. also fehlt
> irgendetwas :)
>
Genau, die Surjektivität von f.
LG
Kroni
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:07 Di 25.03.2008 | | Autor: | kaoh |
ai, also in der klausur habe ich sogar genau so mir der surjektivität argumentiert. nur ist mir beim erneuten durchgehen der aufgabe die wichtigkeit dieser nicht mehr aufgefallen. hab das also so hier nicht erwähnt. aber ich weiß ganz genau, dass ich geschrieben habe dass jedes element aus Y getroffen wird und, dass wenn g ({Y}) = h({Y}) ist so ist auch g = h.
tut mir leid, hätte dir viel tipparbeit ersparen können, wenn ich das sofort erwähnt hätte.
aber reicht das wirklich aus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:22 Di 25.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
schauen wir uns doch zwei Funktionen an:
h: Y-> Z
g: Y-> Z
h=g gilt genau dann, wenn für alle y aus Y gilt: h(y)=g(y).
Da du aber "nur" weist, dass g(f(x))=h(f(x)) gilt, weist du ja noch nicht, dass das Ganze dann für alle y aus Y gilt. Du weist ja nur, dass die Gleichheit für alle Elemente aus Y gilt, die von f "getroffen" werden.
Jetzt kommt die Surjektivität ins Spiel: Da f surjektiv ist, weist du, dass es zu jedem y aus Y ein x aus X existiert, so dass f(x)=y gilt. Das heißt, du kannst aus g(f(x))=h(f(x)) folgern, dass g(Y)=h(Y) gilt. Damit bleibt den beiden Funktionen g und h doch gar nichts anderes mehr übrig, als gleich zu sein.
Nehmen wir doch mal an, dass [mm] $h\not=g$. [/mm] Dann muss es ein y aus Y geben, so dass [mm] $h(y)\not=g(y)$ [/mm] Da aber $h(f(x))=g(f(x))$ gilt, können wir sagen, dass dieses y, für das [mm] $h(y)\not=g(y)$ [/mm] gilt, nicht im Bildbereich von f liegen kann. Das aber steht im Widerspruch zur Surjektivität von f: Da f surjektiv wird jedes Element aus Y "getroffen", und da $h(f(x))=g(f(x))$ nach Vorraussetzung gilt, kann ein solches y, das wir uns oben vorgegeben haben, nicht existieren. Nun, aus diesen Infos können wir nun folgern, dass g=h gilt.
Ich hoffe, es ist jetzt "eindeutiger" als vorher.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:51 Di 25.03.2008 | | Autor: | kaoh |
hey vielen dank für deine antwort. scheint dann wohl an meiner "schwammigen" formulierung gescheitert zu sein. hatte mir das nämlich auch genau so überlegt, wie du das beschrieben hast. oder ich überseh noch den kleine aber feinen unterschied^^ werd mir also deine antowort noch paar ma durchlesen^^
gruß
|
|
|
|
