Abbildungen und Umkehrfunktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Fr 04.01.2008 | | Autor: | summer00 |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenende Funktionen:
a)
f : [mm] \IR \to \IR^2 [/mm] f(x) := (x, e ^ [mm] (-x^2))
[/mm]
g: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] g(x,y) := x
i. Bestimmen Sie die Abbuldung g [mm] \circ [/mm] f.
ii. Entscheiden Sie, ob g die Umkehrfunktion von f ist.
b)
Gegeben seien die folgenende Funktionen:
f : [mm] \IR \to [/mm] (0,1] f(x) := [mm] e^{-x^2}
[/mm]
g: (0,1] [mm] \to \IR [/mm] g(x) := [mm] \wurzel{-ln x }
[/mm]
i. Bestimmen Sie die Abbuldung g [mm] \circ [/mm] f.
ii. Entscheiden Sie, ob g die Umkehrfunktion von f ist. |
Hallo!
Könnte mir jemand bitte einen Tipp geben, wie ich die Aufgabe löse?
g [mm] \circ [/mm] f heisst ja, dass ich erst die Funktion f auflöse und danach die Funktion g.
Nur leider verstehe ich hier nicht, was bei der Teilaufgabe a mit f(x) := (x, e ^ [mm] (-x^2)) [/mm] zu machen ist.
Kommt als Ergebnis raus, g [mm] \circ [/mm] f = (x, e ^ [mm] (-x^2)) [/mm] oder wie muss ich das machen?
Bei Umkehrfunktionen muss ich doch schauen, ob die Funktion bijektiv ist und dann x mit y vertauschen. Aber funktioniert das dann hier.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Vielen Dank schon im voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Fr 04.01.2008 | | Autor: | summer00 |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenende Funktionen:
a)
f : [mm] \IR \to \IR^2 [/mm] f(x) := (x, [mm] e^{-x^2})
[/mm]
g: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] g(x,y) := x
i. Bestimmen Sie die Abbuldung g [mm] \circ [/mm] f.
ii. Entscheiden Sie, ob g die Umkehrfunktion von f ist.
b)
Gegeben seien die folgenende Funktionen:
f : [mm] \IR \to [/mm] (0,1] f(x) := [mm] e^{-x^2}
[/mm]
g: (0,1] [mm] \to \IR [/mm] g(x) := [mm] \wurzel{-ln x }
[/mm]
i. Bestimmen Sie die Abbuldung g [mm] \circ [/mm] f.
ii. Entscheiden Sie, ob g die Umkehrfunktion von f ist. |
Hallo!
Könnte mir jemand bitte einen Tipp geben, wie ich die Aufgabe löse?
g [mm] \circ [/mm] f heisst ja, dass ich erst die Funktion f auflöse und danach die Funktion g.
Nur leider verstehe ich hier nicht, was bei der Teilaufgabe a mit f(x) := (x, [mm] e^{-x^2}) [/mm] zu machen ist.
Kommt als Ergebnis raus, g [mm] \circ [/mm] f = (x, [mm] e^{-x^2}) [/mm] oder wie muss ich das machen?
Bei Umkehrfunktionen muss ich doch schauen, ob die Funktion bijektiv ist und dann x mit y vertauschen. Aber funktioniert das dann hier.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Vielen Dank schon im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Fr 04.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Die Abbildung g ° f bedeutet, dass du die beiden Abbildungen hintereinander ausführen mußt, und zwar zuerst f, dann g.
Mit f(x) = 2x und g(x) = sinx bekommst du z.B. g ° f = sin(2x)
In deinem Fall mußt du also das Ergebnis von f in g einsetzen.
Bei der Frage ob g die Umkehrfunktion von f ist, liegst du ganz richtig, wenndu f auf Bijektivität untersuchst.
Prüfe z.B., ob f alle Werte im [mm] \IR^2 [/mm] auch wirklich annimmt!
Bei der zweiten Aufgabe kannst du ähnlich vorgehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Fr 04.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Leider hast du dich hier mit der Notation verrannt.
[mm] g\circ{f} [/mm] heisst nichts anderes als g(f(x))
Und wenn g die Umkerfunktion von f ist, gilt:
f(g(x))=x,
Das ganze sollst du hier jeweils Prüfen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Fr 04.01.2008 | | Autor: | summer00 |
a)
i) g(f(x)) = g [mm] (x,e^{-x^2})
[/mm]
ii) f(g(x,y)) = f(x) also ist es die Umkehrfunktion
b)
i) [mm] g(e^{-x^2}) [/mm] = [mm] \wurzel{-ln e^-x^2}
[/mm]
ii) f(g(x)) = f [mm] (\wurzel{-ln x}) [/mm] = [mm] e^{-\wurzel{-ln x}^2} [/mm] = e^(ln x)
und ist somit nicht die Umkehfunktion
ist das so richtig???
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> a)
>
> i) g(f(x)) = g [mm](x,e^{-x^2})[/mm]
Hallo,
das kannst Du doch noch weiter ausrechnen, Du bist noch nicht fertig.
Was macht denn die Funktion g?
Sie bildet ein Zahlenpaar auf seine erste Komponente ab, also ist [mm] g(x,e^{-x^2})= [/mm] ????
Insgesamt solltest Du herausfinden, daß [mm] g\circ f=id_{\IR} [/mm] ist.
Bzgl der Umkehrfunktion hattest Du selbst in Deinem Eingangspost völlig den richtigen Gedanken, zahllos hat Dich ja auch daraufhingewiesen: Funktionen haben nur eine Umkehrfunktion, wenn sie bijektiv sind, und zahllos hat Dir auch schon gesagt, worauf Du gucken mußt. Werden alle Zahlenpaare aus [mm] \IR^2 [/mm] von f mit einem Funktionswert beschenkt? Nein, werden sie nicht, denn...
Wenn Du weißt, daß f nicht bijektiv ist, kann g keine Umkehrfunktion sein, und Du bist fertig.
Du brauchst das, was unter ii) folgt, nicht. Wir wollen ihm trotzdem etwas Fasson geben:
> ii) f(g(x,y)) = f(x) also ist es die Umkehrfunktion
Marius hatte (nicht ganz korrekt) versucht, Dir zu sagen, daß, wenn g Umkehrfunktion von f ist, gilt [mm] g\circ f=id_{\IR} [/mm] UND [mm] f\circ g=id{\IR^2}, [/mm] was Du begonnen hast zu prüfen.
Aber Du darfst doch nicht auf halbem Wege aufhören!
Zu zeigen ist hier noch [mm] f\circ g=id{\IR^2}, [/mm] d.h. [mm] (f\circ g)(x,y)=f(g(x,y))=id{\IR^2}(x,y)=(x,y).
[/mm]
Du hast nun - völlig richtig -
[mm] (f\circ [/mm] g)(x,y)=f(x) =... Nun wende f auf x an, und guck, ob am Ende (x,y) herauskommt.
Gruß v. Angela
>
>
> b)
>
> i) [mm]g(e^{-x^2})[/mm] = [mm]\wurzel{-ln \* e^-x^2}[/mm]
> ii) f(g(x)) = f
> [mm](\wurzel{-ln \*x})[/mm] = [mm]e^{-\wurzel{-ln\* x}^2}[/mm] = e^(ln [mm]\*x)[/mm]
> und ist somit nicht die Umkehfunktion
>
>
> ist das so richtig???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Sa 05.01.2008 | | Autor: | summer00 |
[mm] g(x,e^{-x^2}) [/mm] = x.
Achso ja, es ist nicht bejektiv. Irgendwie hatte ich angenommen, dass x alles Werte annimmt und ich somit [mm] e^{-x^2} [/mm] ignorieren kann. Hab aber verstanden, dass die Überlegung falsch war.
Mir ist nicht ganz klar, was [mm] id\IR [/mm] genau ist?!
Sorry, ich verstehe das nicht so ganz. Wenn ich f (g(x,y)) = f(x) habe und f(x) := [mm] (x,e^{-x^2}), [/mm] was muss ich denn da noch weiterberechnen?? Entschuldige, ich seh das nicht.
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> [mm]g(x,e^{-x^2})[/mm] = x.
Hallo,
genau, das fehlte noch.
>
> Achso ja, es ist nicht bijektiv. Irgendwie hatte ich
> angenommen, dass x alles Werte annimmt und ich somit
> [mm]e^{-x^2}[/mm] ignorieren kann. Hab aber verstanden, dass die
> Überlegung falsch war.
Gut. Dir ist auch wirklich klar, welche Werte aus [mm] \IR^2 [/mm] nicht angenommen werden?
> Mir ist nicht ganz klar, was [mm]id_{\IR}[/mm] genau ist?!
Die Identität auf [mm] \IR. [/mm] Die Funktion, welche jedes Element aus [mm] \IR [/mm] sich selbst zuordnet,
also
[mm] id_{\IR}:\IR \to \IR
[/mm]
[mm] id_{\IR}(x):=x [/mm] für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
[mm] id_{IR^2} [/mm] ist völlig entsprechend die Identität auf [mm] \IR^2, [/mm] welche jedes Zahlenpaar sich selbst zuordnet - also keine sehr aufregenden Funtionen.
>
> Sorry, ich verstehe das nicht so ganz. Wenn ich f (g(x,y))
> = f(x) habe und f(x) := [mm](x,e^{-x^2}),[/mm] was muss ich denn da
> noch weiterberechnen?? Entschuldige, ich seh das nicht.
Nichts.
Du hattest bloß nicht hingeschrieben, daß f (g(x,y)) [mm] =(x,e^{-x^2}) [/mm] ist, und das war Sparsamkeit am falschen Platze.
Denn das Ziel der Bemühungen ist ja festzustellen, ob [mm] f\circ g=id_{\IR^2} [/mm] ist, ob also
f(g(x,y))=(x,y) ist für alle [mm] (x,y)\in \IR^2. [/mm]
Und? Ist das der Fall? Offensichtlich nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 06.01.2008 | | Autor: | summer00 |
Also die Funktion ist nicht surjektiv, da [mm] e^{-x^2} [/mm] nicht jedes Wert annimmt.
Habe ich das richtig verstanden? ich soll ja überprüfen, ob f(g(x,y))=(x,y) ist
Also muss als Ergebnis (in diesem Fall (x,y)) genau das rauskommen, was man bei g einsetzt?!
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> Also die Funktion ist nicht surjektiv, da [mm]e^{-x^2}[/mm] nicht
> jedes Wert annimmt.
Hallo,
ja, die negativen werden ja nicht angenommen.
>
> Habe ich das richtig verstanden? ich soll ja überprüfen, ob
> f(g(x,y))=(x,y) ist
> Also muss als Ergebnis (in diesem Fall (x,y)) genau das
> rauskommen, was man bei g einsetzt?!
Ja - und das tut es hier nicht.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summer00!
> i) [mm]g(e^{-x^2})[/mm] = [mm]\wurzel{-ln \* e^{-x^2}}[/mm]
Bitte nach dem [mm] $\ln$ [/mm] den Malpunkt entfernen. Der natürliche Logarithmus [mm] $\ln(x)$ [/mm] ist eine Funktion (und kein Multiplikator).
Hier kann man doch noch weiter zusammenfassen gemäß  Logarithmusgesetz:
[mm] $$\log_b\left( \ a^m \ \right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$$
[/mm]
> ii) f(g(x)) = f[mm](\wurzel{-ln \*x})[/mm] = [mm]e^{-\wurzel{-ln\* x}^2}[/mm] = e^(ln [mm]\*x)[/mm]
siehe oben!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 06.01.2008 | | Autor: | Mephis |
Hallo und nachträglich ein frohes neues Jahr... :)
Wenn ich es richtig berechnet habe, sind sowohl $f [mm] \circ [/mm] g = x$ als auch $g [mm] \circ [/mm] f = x$. Also ist g die Umkehrfunktion von f. Richtig?
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> Wenn ich es richtig berechnet habe, sind sowohl [mm]f \circ g = x[/mm]
> als auch [mm]g \circ f = x[/mm]. Also ist g die Umkehrfunktion von
> f. Richtig?
Hallo,
was hast Du denn bei [mm] g\circ [/mm] f gerechnet?
Oder anders: bist Du Dir sicher, daß g surjektiv ist?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 06.01.2008 | | Autor: | Mephis |
Hallo,
> was hast Du denn bei [mm]g\circ[/mm] f gerechnet?
$g [mm] \circ [/mm] f=g(f(x) ) = [mm] g(e^{-(x)^{2}}) [/mm] = [mm] \wurzel{-ln e^{-(x)^{2}}} [/mm] = [mm] \wurzel{-(-ln e)(x)^{2}} [/mm] = x [mm] \wurzel{ln e} [/mm] = x$
> Oder anders: bist Du Dir sicher, daß g surjektiv ist?
Ähmm, nicht wirklich... Kannst du mir bitte da helfen?
Gruß
Meph
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> > Oder anders: bist Du Dir sicher, daß g surjektiv ist?
>
> Ähmm, nicht wirklich... Kannst du mir bitte da helfen?
Fangen wir mal damit an.
Du weißt, was surjektiv ist? Auf jedes Element des Wertebereiches wird ein Element des Definitionsbereiches abgebildet.
Der Wertebereich v. g ist [mm] \IR. [/mm] Werden denn die negativen Zahlen durch die Funktion g erreicht?
> > was hast Du denn bei [mm]g\circ[/mm] f gerechnet?
>
> [mm]g \circ f=g(f(x) ) = g(e^{-(x)^{2}}) = \wurzel{-ln e^{-(x)^{2}}} = \wurzel{-(-ln e)(x)^{2}} = x \wurzel{ln e} = x[/mm]
Ja, das dachte ich mir...
Der Fehler liegt hier: es ist [mm] \wurzel{(-5)^2}\not=-5, [/mm]
und so müßte das korrekte Ergebnis oben |x| lauten, und damit ist der Traum v. der Umkehrung ausgeträumt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 06.01.2008 | | Autor: | Mephis |
Danke für die schnelle Antwort. Das mit Surjektivität habe ich verstanden. aber kannst du mir bitte erklären, warum $ [mm] \wurzel{(-ln e)(-x)^{2}} [/mm] = |x| $ ist?
Kann man so umschreiben?
$ [mm] \wurzel{(-1) (ln e) (-x)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{(-1)(-x)^{2}} [/mm] $
Wenn ja, ist $ [mm] \wurzel{(-1)(-x)^{2}} [/mm] = |x| $ ?
Danke nochmal im Voraus...
Meph
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> Danke für die schnelle Antwort. Das mit Surjektivität habe
> ich verstanden. aber kannst du mir bitte erklären, warum
> [mm]\wurzel{(-ln e)(-x)^{2}} = |x|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist?
Ich dachte, das Beispiel mit der -5 würde für sich sprechen.
Es ist \wurzel{(-ln e)(-x)^{2}} ---- Moment, das ist verkehrt geklammert, für die Augabe haben wir etwas anderes zu betrachten, nämlich
\wurzel{-ln (e^{-x^{2})}= \wurzel{-(-x^2)ln (e)} = \wurzel{x^2}=|x|,
Beispiel:
\wurzel{(-5)^2}=\wurzel{25}=5=|-5|
\wurzel{5^2}=\wurzel{25}=5=|5|.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 So 06.01.2008 | | Autor: | Mephis |
Ahhh, jetzt verstehe ich was du meinst.
Es ist ja immer so, dass: $ [mm] \wurzel{x^2} [/mm] = |x| $
Du hast mich mit -5 bissel verwirrt. Ich dachte es geht um das Minuszeichen und du das Minuszeichen vor ln übersehen hast bzw. ich irgendeine Regelung nicht verstanden habe. :)
Also ist die Funktion g sowohl bei Aufgabe a) als auch b) keine Umkehrfunktion von f.
Danke für deine Geduld
Meph
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 So 06.01.2008 | | Autor: | summer00 |
Da hätte ich jetzt auch noch eine Frage.
Bei der b i) müssen wir ja dieses mal f [mm] \circ [/mm] g berechnen. Da bekomme ich raus : e^(ln x)
Und die ii) könnte man doch direkt beantworten, da [mm] e^{-x^2} [/mm] nicht surjektiv ist, also ist g nicht die Umkehrfunktion. Aber warum berechnet ihr denn da g [mm] \circ [/mm] f???
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> f : $ [mm] \IR \to [/mm] $ (0,1] f(x) := $ [mm] e^{-x^2} [/mm] $
> g: (0,1] $ [mm] \to \IR [/mm] $ g(x) := $ [mm] \wurzel{-ln x } [/mm] $
>
> Bei der b i) müssen wir ja dieses mal f [mm]\circ[/mm] g berechnen.
> Da bekomme ich raus : e^(ln x)
und das ist =x.
Im Aufgabentext steht allerdings, daß Du [mm] g\circ [/mm] f berechnen sollst.
> Und die ii) könnte man doch direkt beantworten, da
> [mm]e^{-x^2}[/mm] nicht surjektiv ist, also ist g nicht die
> Umkehrfunktion.
Völlig richtig.
> Aber warum berechnet ihr denn da g [mm]\circ[/mm] f???
U.a., weil' s in der Aufgabe so steht...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mo 07.01.2008 | | Autor: | summer00 |
Vielen Dank für die Hilfe
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