Abbildungen und Urbilder < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Sei f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung zwischen den zwei beliebigen, nichtleeren Mengen X und Y. Wir definieren [mm] f^{-1}(M):=\{x \in X: f(x) \in M\}
[/mm]
a) Gegeben sei nun X = [mm] \IZ [/mm] und Y = [mm] \IZ [/mm] sowie die Abbildungsvorschrift f(x) = [mm] x^{2} [/mm] und die Menge D = [mm] \{4, -9, 16, -25\} [/mm] .Geben Sie folgende Mengen an:
(I) f(D)
(II) [mm] f^{-1}(D)
[/mm]
[mm] (III)f^{-1}(f(M))
[/mm]
(IV) [mm] f(f^{-1}(D))
[/mm]
b) Seien nun X, Y wieder beliebige nichtleere Mengen und f: X [mm] \to [/mm] Y eine beliebige Abbildung von X nach Y. Zeigen Sie: Für jede Teilmenge B [mm] \subset [/mm] Y gilt: [mm] f(f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] B. |
a) (I) {16, 81, 256, 625}
(II) {-2, -4, 4, 2}
(III) Unter M verstehe ich die Teilmenge von B die getroffen wird(also je nach Funktionsvorschrift variierent) Hier Ist für mich M das was bei (I) raus kam.
f(M) = {256, 6561, 65536, 390625}
also ist [mm] f^{-1}(f(M)) [/mm] = {-16, -81, -256, -625, 625, 256, 81, 16}
(IV) {4, 16}
b) bei B fehlt mir der Ansatz. Ich kann mir aber vorstellen, dass es eifnach was mit dem Zahlenbereich sowie der Funktionsvorschrift zu tun hat, ob B was ja offensichtlich der Teil von Y ist der je nach Funktionsvorschrift getroffen wird, eine Teilmenge oder z.b wenn f(x)=x, B=Y ist. Sollte ich am besten eine Fallunterscheidung machen? Ich rätsel ganz schön bei der Aufgabe:) Ein kleiner Schubser und ich kann es lösen ich bin mir sicher!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f:X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung zwischen den zwei beliebigen,
> nichtleeren Mengen X und Y. Wir definieren [mm]f^{-1}(M):=\{x \in X: f(x) \in M\}[/mm]
>
> a) Gegeben sei nun X = [mm]\IZ[/mm] und Y = [mm]\IZ[/mm] sowie die
> Abbildungsvorschrift f(x) = [mm]x^{2}[/mm] und die Menge D = [mm]\{4, -9, 16, -25\}[/mm]
> .Geben Sie folgende Mengen an:
> (I) f(D)
> (II) [mm]f^{-1}(D)[/mm]
> [mm](III)f^{-1}(f(M))[/mm]
sollte hier [mm] $f^{-1}(f(\red{\;D\;}))$ [/mm] stehen? Denn so macht das keinen
Sinn, zumal [mm] $M\,$ [/mm] gar nicht definiert ist!
> (IV) [mm]f(f^{-1}(D))[/mm]
>
> b) Seien nun X, Y wieder beliebige nichtleere Mengen und f:
> X [mm]\to[/mm] Y eine beliebige Abbildung von X nach Y. Zeigen Sie:
> Für jede Teilmenge B [mm]\subset[/mm] Y gilt: [mm]f(f^{-1}(B)) \subseteq B\,.[/mm]
>
> a) (I) {16, 81, 256, 625}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (II) {-2, -4, 4, 2}
> (III) Unter M verstehe ich die Teilmenge von B die
> getroffen wird(also je nach Funktionsvorschrift variierent)
Vermutlich ist hier [mm] $M=f(D)\,,$ [/mm] denn dann würde auch sicher auch $M [mm] \subseteq [/mm] Y$ gelten! Anonsten wäre die Frage in (III) nicht beantwortbar,
sofern man kein [mm] $M\,$ [/mm] vordefiniert angibt!
> Hier Ist für mich M das was bei (I) raus kam.
> f(M) = {256, 6561, 65536, 390625}
>
> also ist [mm]f^{-1}(f(M))[/mm] = {-16, -81, -256, -625, 625, 256,
> 81, 16}
Schau' nochmal in die Aufgabenstellung und korrigiere das - denn auf der
Aufgabe geht so nicht hervor, was [mm] $M\,$ [/mm] sein soll. Ich würde auf [mm] $M=f(D)\,$
[/mm]
tippen, aber dann passt das, was Du da machst, nicht mehr...
Der Aufgabensteller wird sich da sicher verschrieben haben,
schlimmstenfalls fragt man nach (persönlich oder per Mail)!
> (IV) {4, 16}
Dass man bei (IV) nun [mm] $f(f^{-1}(D))$ [/mm] angeben soll, würde dann auch dazu
passen, dass man bei (III) [mm] $f^{-1}(f(D))$ [/mm] angeben sollte. Zumal man das
dann auch "als kleine Vorbereitung für Aufgabe b)" ansehen könnte!
> b) bei B fehlt mir der Ansatz. Ich kann mir aber
> vorstellen, dass es eifnach was mit dem Zahlenbereich sowie
> der Funktionsvorschrift zu tun hat, ob B was ja
> offensichtlich der Teil von Y ist der je nach
> Funktionsvorschrift getroffen wird, eine Teilmenge oder z.b
> wenn f(x)=x, B=Y ist. Sollte ich am besten eine
> Fallunterscheidung machen? Ich rätsel ganz schön bei der
> Aufgabe:) Ein kleiner Schubser und ich kann es lösen ich
> bin mir sicher!
Denke "rein logisch mit den Definitionen" und arbeite auch "rein logisch":
Wir nehmen uns IRGENDEIN $y [mm] \in f(f^{-1}(B))$ [/mm] her (d.h., wir benutzen
nur diese Eigenschaft bzw. alles, was daraus folgt - und da wird nichts
"konkreter" gemacht). Zu zeigen ist, dass $y [mm] \in [/mm] B$ gelten muss:
Wegen $y [mm] \in f(f^{-1}(B))$ [/mm] existiert ein $x [mm] \in f^{-1}(B)$ [/mm] mit [mm] $f(x)=y\,.$
[/mm]
Nun ist aber
[mm] $$(\*)\;\;\;f^{-1}(B)=\{r \in X: f(r) \in B\}\,.$$ [/mm]
Was folgt also aus $x [mm] \in f^{-1}(B)$ [/mm] dann für [mm] $f(x)\,$ [/mm] in Hinblick auf [mm] $(\*)$? [/mm]
Und dann bedenke nochmal, dass [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] war...
Schlussatz: Da $y [mm] \in f(f^{-1}(B))$ [/mm] beliebig war...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Nochmal zu a). Ich war nicht ganz genau was ich mir wohl abgewöhnen muss um Informatik/Mathematik zu betreiben *hust*.
1:1 steht da: (III) [mm] f^{1}(f(M)) [/mm] (also das Urbild des Bildes D unter f). |
Also das Bild von D war ja {16, 81, 256, 625}. Dessen Urbild ist dann also {-4,4,-9,9,-16,16,-25,25} und weniger was ich vorhin geschrieben habe. Damit wäre dann (IV) [mm] f(f^{-1}(D)) [/mm] {4, 16} da wir ja festgestellt haben [mm] f^{1}(D) [/mm] = {2,-2,4,-4} und {4,4,16,16} unnötige Information enthält. Dennoch! da steht wirklich M.
(Nochmal revidiert... is ja nicht zu verstehen was ich da hingewurschtelt hatte)
b) Es gibt bestimmte x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y, y [mm] \in [/mm] B. Diese bestimmten x nenne ich r. Wenn y [mm] \in f(f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] B gilt, dann nur weil [mm] f^{1}(B) [/mm] = {r [mm] \in [/mm] X | f(r) [mm] \in [/mm] B}, wie die Aussage mir sagt, die Urbilder von B nur auf B abbilden können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Maurizz,
zu III. Von dem M müssen wir nur [mm] $M\subseteq \IZ$ [/mm] wissen, und schon kann man [mm] $f^{-1}(f(M))$ [/mm] angeben. Dies ist nämlich [mm] $\{\pm x\colon x\in M\}$.
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nochmal zu a). Ich war nicht ganz genau was ich mir wohl
> abgewöhnen muss um Informatik/Mathematik zu betreiben
> *hust*.
> 1:1 steht da: (III) [mm]f^{1}(f(M))[/mm] (also das Urbild des Bildes
> D unter f).
Du musst es nochmal schreiben - in der Klammer steht das, was ich meinte,
was bei (III) wohl stehen sollte:
[mm] $$f^{-1}(f(D))\,.$$
[/mm]
Davor schreibst Du immer noch [mm] $f^{-1}(f(M))\,.$ [/mm] (Was eh schon wieder
eine schlechte/verwirrende Notation ist/sein kann, denn vorher hatte man
[mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] für $M [mm] \subseteq Y\,$ [/mm] definiert, in der Notation [mm] $f^{-1}(f(M))$
[/mm]
bedeutet also das [mm] $M\,$ [/mm] "was anderes", denn hier ist $M=X [mm] \subseteq X\,.$)
[/mm]
Also gilt nun [mm] $M=D\,,$ [/mm] oder nicht?
P.S. Natürlich hat Wolfgang mit seiner Antwort auch recht, aber das solltest
Du nicht einfach benutzen, sondern, wenn Du es so benutzt, auch BEWEISEN!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 So 04.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Sehr gut! jetzt hab ichs geknackt.
a) (I) f(D) = {16, 81, 256, 625}
(II) [mm] f^{-1}(D) [/mm] = {-2, -4, 4, 2}
(III) [mm] f^{-1}(f(D)) [/mm] = {-4, -9, -16, -25, 25, 16, 9, 4}
(IV) [mm] f(f^{-1}(D)) [/mm] = {4, 16}
b) Es gibt bestimmte x [mm] \in [/mm] X für die gilt, f(x) = y mit y [mm] \in [/mm] B.
Diese x nenne ich mal z und haben folgende Funktion:
[mm] f^{-1}(B) [/mm] := {z [mm] \in [/mm] X | f(z) [mm] \in [/mm] B}.
[mm] \rightarrow [/mm] Deshalb erhalte ich als Urbild von B stehts ein z [mm] \in [/mm] X,
dessen Bild y [mm] \in [/mm] B ist.
[mm] f(f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] f(z) [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] y [mm] \subseteq [/mm] B.
[mm] \Box
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe es wird von Stunde zu Stunde besser.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Maurizz,
ich habe jetzt nicht den gesamten Thread studiert, sondern antworte nur auf diese Frage.
> Sehr gut! jetzt hab ichs geknackt.
>
> a) (I) f(D) = {16, 81, 256, 625}
> (II) [mm]f^{-1}(D)[/mm] = {-2, -4, 4, 2}
> (III) [mm]f^{-1}(f(D))[/mm] = {-4, -9, -16, -25, 25, 16, 9, 4}
> (IV) [mm]f(f^{-1}(D))[/mm] = {4, 16}
Perfekt!
> b) Es gibt bestimmte x [mm]\in[/mm] X für die gilt, f(x) = y mit y
> [mm]\in[/mm] B.
> Diese x nenne ich mal z und haben folgende Funktion:
> [mm]f^{-1}(B)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$z [mm]\in[/mm] X | f(z) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$.
> [mm]\rightarrow[/mm] Deshalb erhalte ich als Urbild von B stehts
> ein z [mm]\in[/mm] X,
> dessen Bild y [mm]\in[/mm] B ist.
> [mm]f(f^{-1}(B)) \subseteq[/mm] B [mm]\gdw[/mm] f(z) [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\gdw[/mm] y
> [mm]\subseteq[/mm] B.
Es fällt mir schwer, dir zu folgen. Kann gut sein, dass du den Zusammenhang eigentlich vertanden hast.
Sei [mm] $y\in f(f^{-1}(B))$. [/mm] Nach Definition von [mm] $f(f^{-1}(B))$ [/mm] existiert dann ein [mm] $x\in f^{-1}(B)$ [/mm] mit $f(x)=y$. Wegen [mm] $x\in f^{-1}(B)$ [/mm] gilt [mm] $f(x)\in [/mm] B$. Also [mm] $y=f(x)\in [/mm] B$.
Somit [mm] $f^{-1}(f(B))\subseteq [/mm] B$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:40 So 04.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Ich habe genau das selbe gemeint, bloß das ich mir überlegt habe X sei ein Zahlenstrahl und auf diesem Zahlenstrahl gibt es ganz bestimmte elemente die ich z nenne. Und so ein z hat die Eigenschaft ein Urbild von B zu sein.
Aber deine formulierung is doch etwas kompakter und sagt sogesehn das gleiche aus:)
gruß
maurizz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 04.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maurizz,
> Ich habe genau das selbe gemeint, bloß das ich mir
> überlegt habe X sei ein Zahlenstrahl
beschränke Dich nicht auf Zahlenstrahle - es gibt Mengen, die Du "auf
einem solchen nicht gänzlich wiederfinden kannst". Bleibe lieber allgemein,
so wie Tobi das tat!
> und auf diesem
> Zahlenstrahl gibt es ganz bestimmte elemente die ich z
> nenne. Und so ein z hat die Eigenschaft ein Urbild von B zu
> sein.
Sowas kann man sich für Funktionen $f: S [mm] \to [/mm] T$ mit $S,T [mm] \subseteq \IR$
[/mm]
schon schön klarmachen - aber bedenke, dass es trotzdem "ein sehr
spezieller Fall" ist und bleibt. (Skizzen dienen eigentlich immer nur dazu,
sich etwas "allgemeines" ein wenig zu veranschaulischen - aber wenn man
dann der Anschauung Zusatzinformationen entnimmt, die nur wegen der
Anschauung vorhanden sind, wird man "speziell", anstatt
abstrakt/allgemein zu bleiben!)
> Aber deine formulierung is doch etwas kompakter und sagt
> sogesehn das gleiche aus:)
Vermutlich - zumal Tobi auch sauberer argumentiert hat (ich hab's ja
eigentlich genau so angedeutet, wie Tobi es geschrieben hat)!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 So 04.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Deine Andeutung hat mir auch erst dazu verholfen mir es überhaupt vorstellen zu können, was die Aufgabenstellung bedeutet und was ich überhaupt zeigen muss:)
Jedenfalls ist der Einstieg in das mathematisch-abstrakte denken nicht unbedingt leicht, sodass ich hin und wieder mal ein Zahlenstrahl aus dem Werkzeugkasten hole.
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