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Forum "Lineare Abbildungen" - Abbildungs Komposition
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Abbildungs Komposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 So 14.12.2014
Autor: trinki

Aufgabe
[mm] F:R^2,^2 \to R^3 [/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \to \pmat{ -b \\ a+c \\ -2b } [/mm]

[mm] G:R\le2(x) \to R^2,^2 [/mm]
[mm] ax^2+bx+c \to \pmat{ 2c & a \\ c & -b } [/mm]

r= [mm] 2x^2 [/mm] -1

1. mögliche abbildungs komposition F [mm] \circ [/mm] G oder G [mm] \circ [/mm] F ?
2. Frage 2. Aus welchem Vektorraum stammt diese
3. Bild von r unter der abbildung F [mm] \circ [/mm] G


Frage1.
Eine mögliche Abbildungskomposition ist :

Antwort1. : Meiner Meinung nach is nur F [mm] \circ [/mm] G möglich


Antwort 2 : in diesem Fall [mm] R\le2(x) \to R\le2(x) [/mm]
ist das Richtig  ?

Und 3. (F [mm] \circ [/mm] G)(r) = [mm] -6x^2 [/mm] - 3
ist das richtig ?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

liebe grüße

        
Bezug
Abbildungs Komposition: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 So 14.12.2014
Autor: trinki

ist das vielleicht richtig zu 3.

F [mm] \circ [/mm] G = [mm] \vektor{-a \\ -2a \\ 3c} [/mm]


[mm] \vektor{-a \\ -2a \\ 3c} (2x^2 [/mm] -1) = [mm] \vektor{-2 \\ -4 \\ -3} [/mm]  oder  [mm] \vektor{-6 \\ 0 \\ -3} [/mm]



Bezug
        
Bezug
Abbildungs Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 So 14.12.2014
Autor: angela.h.b.


> [mm]F:R^2,^2 \to R^3[/mm]
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \to \pmat{ -b \\ a+c \\ -2b }[/mm]

>

> [mm]G:R\le2(x) \to R^2,^2[/mm]
> [mm]ax%5E2%2Bbx%2Bc%20%5Cto%20%5Cpmat%7B%202c%20%26%20a%20%5C%5C%20c%20%26%20-b%20%7D[/mm]

>

> r= [mm]2x^2[/mm] -1

>

> 1. mögliche abbildungs komposition F [mm]\circ[/mm] G oder G [mm]\circ[/mm]
> F ?
> 2. Frage 2. Aus welchem Vektorraum stammt diese
> 3. Bild von r unter der abbildung F [mm]\circ[/mm] G

>

> Frage1.
> Eine mögliche Abbildungskomposition ist :

>

> Antwort1. : Meiner Meinung nach is nur F [mm]\circ[/mm] G möglich

Hallo,

das stimmt.
>
>

> Antwort 2 : in diesem Fall [mm]R\le2(x) \to R\le2(x)[/mm]
> ist das Richtig ?

Nein, das stimmt nicht.

Die Abbildung [mm] F\circ [/mm] G kann man doch nur anwenden auf Elemente aus [mm] \IR_{\le 2}[x], [/mm] denn dies ist der Definitionsbereich von G.
Also wissen wir schonmal:

[mm] F\circ [/mm] G: [mm] \IR_{\le 2}[x]\to [/mm] ...

Nun überlegen wir mal:
was macht G mit einem Polynom aus dem [mm] \IR_{\le 2}[x]? [/mm]
Es wird abgebildet auf eine [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix.

Darauf wird dann F angewendet.
Was macht F? F macht aus Matrizen Spaltenvektoren mit 3 Einträgen.

Also haben wir

[mm] F\circ [/mm] G: [mm] \IR_{\le 2}[x]\to [/mm] ???


>

> Und 3. (F [mm]\circ[/mm] G)(r) = [mm]-6x^2[/mm] - 3
> ist das richtig ?

Nein.
Wie ist [mm] (F\circ [/mm] G)(r) definiert?
So: [mm] (F\circ [/mm] G)(r):=F(G(r)).

Also ist

  [mm] (F\circ [/mm] G)(r)
=F(G(r))
[mm] =F(G(2x^2-1)) [/mm]
[mm] =F(G(2x^2+0x-1)) [/mm]
[mm] =F(\pmat{...&...\\...&...})=\vektor{...\\...\\...} [/mm]

LG Angela


>
>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

> liebe grüße


Bezug
                
Bezug
Abbildungs Komposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 So 14.12.2014
Autor: trinki


>  >
>  >
>  > Antwort 2 : in diesem Fall [mm]R\le2(x) \to R\le2(x)[/mm]

>  > ist

> das Richtig ?
>  
> Nein, das stimmt nicht.

Dann ist es also wie doch vorher schon angenommen der [mm] R^3 [/mm]

>  > Und 3. (F [mm]\circ[/mm] G)(r) = [mm]-6x^2[/mm] - 3

>  > ist das richtig ?

>  
> Nein.
>  Wie ist [mm](F\circ[/mm] G)(r) definiert?
>  So: [mm](F\circ[/mm] G)(r):=F(G(r)).
>  
> Also ist
>  
>   [mm](F\circ[/mm] G)(r)
>  =F(G(r))
>  [mm]=F(G(2x^2-1))[/mm]
>  [mm]=F(G(2x^2+0x-1))[/mm]
>  [mm]=F(\pmat{...&...\\...&...})=\vektor{...\\...\\...}[/mm]
>  
> LG Angela

Also ich mache jetzt zu erst [mm] \pmat{ 2c & a \\ c & -b } (2x^2 [/mm] +0x -1)
also
2c = 2(-1)
a= [mm] 2x^2 [/mm]
c=-1
-b=0


und jetzt F [mm] \vektor{-b \\ a+c \\ -2b} [/mm] ( 2(-1) + [mm] 2x^2 [/mm] -1 ) [mm] =\vektor{ 0 \\ 2x^2+ (-3) \\ 0} [/mm]

da bin ich auch auf dem Holzweg oder ? -.-


Bezug
                        
Bezug
Abbildungs Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:47 So 14.12.2014
Autor: angela.h.b.


> > >
> > >
> > > Antwort 2 : in diesem Fall [mm]R\le2(x) \to R\le2(x)[/mm]
> >
> > ist
> > das Richtig ?
> >
> > Nein, das stimmt nicht.

>

> Dann ist es also wie doch vorher schon angenommen der [mm]R^3[/mm]

Hallo,

mit irgendwelchen "Annahmen" hat das nichts zu tun.
Es ist [mm] F\circ [/mm] G eine Abbildung, die aus dem VR der Polynome vom Höchstgrad 2 in den [mm] \IR^3 [/mm] abbildet.

>

> > > Und 3. (F [mm]\circ[/mm] G)(r) = [mm]-6x^2[/mm] - 3
> > > ist das richtig ?
> >
> > Nein.
> > Wie ist [mm](F\circ[/mm] G)(r) definiert?
> > So: [mm](F\circ[/mm] G)(r):=F(G(r)).
> >
> > Also ist
> >
> >   [mm](F\circ[/mm] G)(r)
> > =F(G(r))
> > [mm]=F(G(2x^2-1))[/mm]
> > [mm]=F(G(2x^2+0x-1))[/mm]
> > [mm]=F(\pmat{...&...\\...&...})=\vektor{...\\...\\...}[/mm]
> >
> > LG Angela

>

> Also ich mache jetzt zu erst [mm]\pmat{ 2c & a \\ c & -b } (2x^2[/mm]
> +0x -1)

Was soll das denn bedeuten?
Du mußt unbedingt daran arbeiten, Dich für andere verständlich und präzise auszudrücken.

Du möchtest sicher [mm] G(2x^2+0x-1) [/mm] berechnen.

> also
> 2c = 2(-1)
> a= [mm]2x^2[/mm]

nein. a ist die Zahl vorm [mm] x^2, [/mm] also a=2

> c=-1
> -b=0

Es ist [mm] G(2x^2+0x-1)=\pmat{ -2 & 2 \\ -1 & 0 } [/mm]



>
>

> und jetzt F [mm]\vektor{-b \\ a+c \\ -2b}[/mm] ( 2(-1) + [mm]2x^2[/mm] -1 )

???

Jetzt ist

[mm] F(\pmat{ -2 & 2 \\ -1 & 0 }) [/mm]

zu berechnen.

Mit den Bezeichnungen aus der Def. von F haben wir

a=-2, b=2, c=-1, d=0,

und man bekommt

[mm] F(\pmat{ -2 & 2 \\ -1 & 0 })=\vektor{-2\\-3\\-4}. [/mm]


So, nun nochmal vernünftig hingeschrieben:

[mm](F\circ[/mm] G)(r)
=F(G(r))
[mm]=F(G(2x^2-1))[/mm]
[mm] =F(G(2x^2+0x-1)) [/mm]
[mm] =F(\pmat{ -2 & 2 \\ -1 & 0 }) [/mm]
[mm] =\vektor{-2\\-3\\-4} [/mm]

LG Angela




> [mm]=\vektor{ 0 \\ 2x^2+ (-3) \\ 0}[/mm]

>

> da bin ich auch auf dem Holzweg oder ? -.-

>

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