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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Do 01.01.2009 | | Autor: | Aileron |
| Aufgabe | Es sei V:=M(2x3, [mm] \IR) [/mm] der [mm] \IR-Vekorraum [/mm] der 2x3 Matrizen, W := M(2x2, [mm] \IR) [/mm] der [mm] \IR [/mm] vektorraum der 2x2 Matrizen und F:V [mm] \to [/mm] W, M [mm] \mapsto [/mm] M * A
Wobei A = [mm] \pmat{ 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 }
[/mm]
Weiter sein die geordneten Basen
B = [mm] (\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0},\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0},\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}) [/mm] von V
und C = [mm] (\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1}, \pmat{ 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0}, \pmat{ 0 & 0.5 \\ -0.5 & 0}) [/mm] von W gewählt.
Berechnen Sie die Abbildungsmatrix [mm] M^{B}_{C} [/mm] bezüglich der beiden Basen. |
Also wie ich eine Abbildungsmatrix mit "normalen" vektoren bestimmen kann weiß ich [mm] (\phi_{B}^{-1} \circ [/mm] A [mm] \circ \phi_{A}) [/mm]
Nur wie bestimme ich jetzt dieses [mm] \phi_{A}?
[/mm]
Meiner Meinun nach müsste das [mm] \phi_{A} [/mm] = [mm] ID_{6} [/mm] sein. Nur leider ist es nicht möglich A * [mm] ID_{6} [/mm] zu berechnen.
mfg
Aileron
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> Es sei V:=M(2x3, [mm]\IR)[/mm] der [mm]\IR-Vekorraum[/mm] der 2x3 Matrizen, W
> := M(2x2, [mm]\IR)[/mm] der [mm]\IR[/mm] vektorraum der 2x2 Matrizen und F:V
> [mm]\to[/mm] W, M [mm]\mapsto[/mm] M * A
>
> Wobei A = [mm]\pmat{ 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 }[/mm]
>
> Weiter sein die geordneten Basen
>
> B = [mm](\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0},\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0},\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1})[/mm]
> von V
>
> und C = [mm](\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1}, \pmat{ 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0}, \pmat{ 0 & 0.5 \\ -0.5 & 0})[/mm]
> von W gewählt.
>
> Berechnen Sie die Abbildungsmatrix [mm]M^{B}_{C}[/mm] bezüglich der
> beiden Basen.
> Also wie ich eine Abbildungsmatrix mit "normalen" vektoren
> bestimmen kann weiß ich [mm](\phi_{B}^{-1} \circ[/mm] A [mm]\circ \phi_{A})[/mm]
>
> Nur wie bestimme ich jetzt dieses [mm]\phi_{A}?[/mm]
>
> Meiner Meinun nach müsste das [mm]\phi_{A}[/mm] = [mm]ID_{6}[/mm] sein. Nur
> leider ist es nicht möglich A * [mm]ID_{6}[/mm] zu berechnen.
Hallo,
mal vorweg: mir ist nicht ganz klar, ob Du die Abbildung überhaupt verstanden hast:
F ordnet jeder Matrix M die Matrix M*A zu.
B ist ja die kanomische Basis des Raumes der 2x3-Matrizen, nennen wir die der 2x2-Matrizen B'.
Du kannst nun erstmal die Bilder der Basisvektoren von B berechnen und als Koordinatenvektoren bzgl B' schreiben.
(Also: Bild ausrechnen, als Linearkombination der Basisvektoren von B' schreiben, Koeffizienten in Vektor "stapeln".)
Stellst Du diese Koordinatenvektoren als Spalten in eine Matrix, so hast Du schonmal [mm] M^{B}_{B'}.
[/mm]
Du hast hier also insofern Glück, als daß Du im Startraum bereits die geforderte Matrix B hast.
Fehlen tut Dir nun die Transformationsmatrix [mm] T^{B'}_{C}, [/mm] welche aus den Koordinatenvektoren bzgl. B' solche bzgl C macht.
Du findest sie so:
Schreibe die Vektoren von C also Koordinatenvektoren bzgl B', stell diese in eine Matrix. Das ist die Transformationsmatrix [mm] T^{C}_{B'}.
[/mm]
Durch Invertieren bekommst Du die Matrix [mm] T^{B'}_{C}=(T^{C}_{B'})^{-1}, [/mm] welche für Dich die Umwandlung von Koordinaten bzgl B' in solche bzgl C vollbringt.
Es ist dann [mm] T^{B'}_{C}M^{B}_{B'} [/mm] die gesuchte Matrix [mm] M^{B}_{C}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Do 01.01.2009 | | Autor: | Aileron |
Jetzt habe ich es verstanden.
Danke für deine Hilfe :)
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