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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Domwow |
| Aufgabe | Es sei w die durch W: [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}[/mm] -> [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm], W:[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\- 1 \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm], W: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm], W:[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] definierte lineare Abbildung [mm]R^4[/mm] -> [mm]R^4[/mm] und WM die (bezüglich der Standard-Basen in Urbild- und Bildraum) zugehörige Matrix. Bewerten Sie dazu folgende Aussage:
[mm]WM^4[/mm] = E4 mit der (4x4)-Einheitsmatrix E4 |
Guten Tag!
Ich sitze seit langer Zeit an dieser Aufgabe und kann mir einfach nicht die Abbildungsmatrix WM bilden. Die Aussage ist wahr!
Zunächst wollte ich die Standard-Basen E1, E2, E3 & E4 (1x4)-Einheitsmatrizen als Linearkombinationen der Urbilder von W darstellen, was sich allerdings nicht bewerkstelligen ließ. Dann habe ich einfach die Bilder der Abbildungen genommen und sie spaltenweise in die Matrix WM geschrieben: [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & -1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
und sie 3 mal mit sich selbst multipliziert, was jedoch nicht die 4x4-Einheitsmatrix E4 ergab.
Mir bleibt es nach wie vor ein Rätsel, wie die Abbildungsmatrix auszusehen hat.
Ich erkenne nur, dass jeweils Bilder, Urbilder und Bilder zu den Urbildern orthogonal zueinander sind.
Ich danke im Voraus für eure Tipps!
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei w die durch
> W: [mm] b_1:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}[/mm] -> [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm],
> W:[mm]b_2:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\- 1 \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm],
> W: [mm] b_3:=[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm],
> W: [mm] b_4[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> definierte
> lineare Abbildung [mm]R^4[/mm] -> [mm]R^4[/mm] und WM die (bezüglich der
> Standard-Basen in Urbild- und Bildraum) zugehörige Matrix.
> Bewerten Sie dazu folgende Aussage:
>
> [mm]WM^4[/mm] = E4 mit der (4x4)-Einheitsmatrix E4
> Guten Tag!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> Ich sitze seit langer Zeit an dieser Aufgabe und kann mir
> einfach nicht die Abbildungsmatrix WM bilden. Die Aussage
> ist wahr!
> Zunächst wollte ich die Standard-Basen
Du meinst sicher die Standardbasisvektoren
> E1, E2, E3 & E4
> (1x4)-Einheitsmatrizen als Linearkombinationen der Urbilder
> von W darstellen, was sich allerdings nicht bewerkstelligen
> ließ.
Das wäre ein guter Weg gewesen,
welcher sich prinzipiell auch bewerkstelligen läßt.
Du müßtest dazu diese 4 Gleichungssysteme lösen:
[mm] E_i= r_ib_1 [/mm] + [mm] s_ib_2+ t_ib_3 [/mm] + [mm] u_ib_4.
[/mm]
> Dann habe ich einfach die Bilder der Abbildungen
> genommen und sie spaltenweise in die Matrix WM geschrieben:
> [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & -1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
Dies ist die darstellende Matrix [mm] _EM(w)_B [/mm] bzgl. der Basen [mm] B=(b_1, ...,b_4) [/mm] im Startraum und der Standardbasis E im Zielraum.
Du fütterst also mit Koordinatenvektoren bzgl B und erhältst die Bilder unter w bzgl der Standardbasis.
Mach' es Dir doch mal leicht: stell die Matrix auf bzgl der Basis B in Start- und Zielraum.
Es ist ja
[mm] w(b_1)=b_2 [/mm] = [mm] 0*b_1 +1*b_2+0*b_3 +0*b_4 =\vektor{0\\1\\0\\0}_{(B)}
[/mm]
[mm] w(b_2)= b_3= [/mm] ...
[mm] \vdots,
[/mm]
Diese Matrix [mm] _BM(w)_B [/mm] kannst Du nun hinschreiben.
Ich hoffe, Du weißt, daß man mit einer passenden Transformationsmatrix T die darstellende Matrix bzgl der Standadbasis [mm] _EM(w)_E [/mm] bekommen kann: [mm] T_BM(w)_BT^{-1}=_EM(w)_E.
[/mm]
Über das T brauchen wir ier gar nicht weiter genau nachzudenken im Moment.
Wichtig ist die Erkenntnis: [mm] (_BM(w)_B)^4 [/mm] = Einheitsmatrix <==> [mm] (_EM(w)_E)^4= [/mm] Einheitsmatrix.
[mm] BM(w)_B [/mm] ließe sich nun mit wenig Mühe potenzieren -
Du hast aber auch die Möglichkeit - falls das dran war - über das charakteristische Polynom zu gehen:
Wenn [mm] (_EM(w)_E)^4=I_4, [/mm] dann ist [mm] x^4-1 [/mm] das charakteristische Polynom der Matrix, [mm] _EM(w)_E, [/mm] also auch das von [mm] _BM(w)_B [/mm] (ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom).
> Mir bleibt es nach wie vor ein Rätsel, wie die
> Abbildungsmatrix auszusehen hat.
Deine Matrix [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & -1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm] ist die Matrix [mm] _EM(w)_B.
[/mm]
Wenn Du [mm] _EM(w)_E [/mm] haben möchtest, mußt Du rechts die Matrix dranmultiplizieren, die Dir aus Standardvektoren solche bzgl B macht.
Das ist die Matrix [mm] (b_1 b_2 b_3 b_4)^{-1}.
[/mm]
(Dies ist im Prinzip das, was Du zu Anfang tun wolltest, bloß schematisiert.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Domwow |
Vielen Dank erst einmal für deine Hilfe!
Ich hab jetzt die Matrix [mm]_b[/mm]M(w)[mm]_b[/mm] gebildet und sie entsprechend potenziert, so dass ich die Einheitsmatrix E4 erhielt.
Reicht das jetzt als Beweis schon aus?
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> Vielen Dank erst einmal für deine Hilfe!
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> Ich hab jetzt die Matrix [mm]_b[/mm]M(w)[mm]_b[/mm] gebildet und sie
> entsprechend potenziert, so dass ich die Einheitsmatrix E4
> erhielt.
> Reicht das jetzt als Beweis schon aus?
>
Hallo,
Du solltest auf jeden Fall naoch dazuschreiben, daß es, weil [mm] _BM(w)_B [/mm] die Darstellung von w bzgl. B ist eine Transformationsmatrix T gibt mit [mm] _EM(w)_E= T_BM(w)_BT^{-1}, [/mm] und daß folglich [mm] (_EM(w)_E)^4= (T_BM(w)_BT^{-1})^4= TI_4T^{-1}=I_4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Domwow |
okay, alles klar!
ich bedanke mich!
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