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| Aufgabe | U = [mm] [x^{(1)},x^{(2)}] [/mm] mit
[mm] x^{(1)} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
[/mm]
und
[mm] x^{(2)} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
2\\
0\\
1
\end{bmatrix}
[/mm]
ist Unterraum des [mm] \IR^{3}.
[/mm]
a.) Die Projektion sei die lineare Abbildung [mm] f:\IR^{3}\rightarrow\IR^{3} [/mm] auf U.
Geben Sie Abbildungmatrix A zu f bezüglich der kanonischen Basis an.
b.) Setzt man [mm] b^{(1)} [/mm] = [mm] x^{(1)}, b^{(2)} [/mm] = [mm] 2x^{(1)}+x^{(2)}, b^{(3)} [/mm] = [mm] x^{(2)} [/mm] + [mm] (x^{(1)} \times x^{(2)}), [/mm] so bilden diese eine Basis des [mm] \IR^{3}. [/mm] Geben Sie die zur Abbildung f (aus a) ) gehörige Abbildungsmatrix bzgl. dieser Basis [mm] b^{(1)} [/mm] , [mm] b^{(2)}, b^{(3)} [/mm] an. |
Mein Problem liegt bei Aufgabenteil b):
Lösung zu a) ( da in b. benötigt):
Abbildungsmatrix:
B =
[mm] \frac{1}{6}\begin{bmatrix}
5 & -1 &2 \\
-1& 5& 2\\
2 & 2 & 2
\end{bmatrix}
[/mm]
b.) Dort ist als Musterlösung folgendes gegeben:
[mm] f(b^{(1)}) [/mm] = [mm] x^{(1)} [/mm] = [mm] b^{(1)}
[/mm]
[mm] f(b^{(2)}) [/mm] = [mm] 2x^{(1)}+x^{(2)} [/mm] = [mm] b^{(2)}
[/mm]
[mm] f(b^{(3)}) [/mm] = [mm] x^{(2)} [/mm] = [mm] b^{(2)}-2x^{(1)}=b^{(2)}-2b^{(1)}
[/mm]
[mm] f(b^{(1)}), f(b^{(2)}) [/mm] sind mir noch ersichtlich, aber wie kommt man darauf, dass [mm] f(b^{(3)}) [/mm] = [mm] x^{(2)} [/mm] = [mm] b^{(2)}-2x^{(1)}=b^{(2)}-2b^{(1)}. [/mm] Wo ist das Kreuzprodukt geblieben?
[mm] f(b^{(1)}), f(b^{(2)}) [/mm] sind einfach aus der Aufgabenstellung abgeschrieben...
Die Abbildungsmatrix sollte dann sein:
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2\\
0& 1 &1 \\
0& 0 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Di 26.02.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
prüfe dein Ergebnis bei Teil a) am besten nochmals. Eine Drehmatrix sollte immer eine Orthogonale Matrix sein. D.h die Spalten müssen eine Orthonormalbasis bilden.
Gruß Rubikon
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Für die Aufgabe a habe ich die ONB aufgestellt (mit Gram-Schmidt):
ONB = [mm] [y^{(1)},y^{(2)}]
[/mm]
[mm] y^{(1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] y^{(2)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{bmatrix}
[/mm]
Und dann die Abbildungmatrix wiefolgt bestimmt:
[mm] x_{u} [/mm] = [mm] y^{(1)}+y^{(2)}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{3}\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 1 &1
\end{bmatrix}
[/mm]
+ [mm] \frac{1}{2}\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix}
1 &1 & 1\\
1&1 &1 \\
1& 1 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] +\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix}
1 &-1 & 0\\
-1&1 &0 \\
0& 0 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{6}\begin{bmatrix}
5 &-1 &2 \\
-1& 5 & 2\\
2& 2 & 2
\end{bmatrix}
[/mm]
Das müsste doch stimmen. Oder irre ich mich da?
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Habe mich verschrieben:
Statt:
[mm] x_{u} [/mm] = [mm] y^{(1)}+y^{(2)}
[/mm]
Habe ich mit:
A = [mm] y^{(1)} y^{(1)T} +y^{(2)} y^{(2)T} [/mm]
grechnet.
[mm] x_{u} [/mm] = [mm] y^{(1)}+y^{(2)} [/mm] geht natürlich auch, ist allerdings ein anderer Rechenweg.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Di 26.02.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
Wie kommst du bei deinem Zwischenergebnis auf [mm] \frac{1}{3} [/mm] ? müsste bei einer ONB auf jeden Fall 2 rauskommen. Habe gerade aber wenig Zeit mich in die Rechnung reinzudenken. Sorry. Vielleicht könnte sich das jemand anders ansehen? ONB ist aber richtig.
Gruß Rubikon
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Ich rechne : A = [mm] y^{(1)} y^{(1)T} +y^{(2)} y^{(2)T} [/mm]
Also habe ich bei:
[mm] y^{(1)} y^{(1)T} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt(3)}\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt(3)} \begin{bmatrix}
1 & 1 &1
\end{bmatrix}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{3} \begin{bmatrix}
1 & 1 &1 \\
1 & 1 &1 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
Daher die [mm] \frac{1}{3} [/mm] .
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Kann es sein, dass einfach bei [mm] f(b^{(3)}) [/mm] die [mm] 2x^{(1)} [/mm] auf die andere Seite gezogen wurden? (vgl. [mm] f(b^{(2)})) [/mm] Verstehe immer noch nur Bahnhof.
[mm] f(b^{(2)}) [/mm] = [mm] 2x^{(1)}+x^{(2)} [/mm] = [mm] b^{(2)}
[/mm]
[mm] f(b^{(3)}) [/mm] = [mm] x^{(2)} [/mm] = [mm] b^{(2)}-2x^{(1)}=b^{(2)}-2b^{(1)} [/mm]
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Hallo,
deine Abbildungsmatrix in a) ist richtig.
deine Abbildungsmatrix für b) auch.
> Kann es sein, dass einfach bei [mm]f(b^{(3)})[/mm] die [mm]2x^{(1)}[/mm] auf
> die andere Seite gezogen wurden? (vgl. [mm]f(b^{(2)}))[/mm]
> Verstehe immer noch nur Bahnhof.
>
> [mm]f(b^{(2)})[/mm] = [mm]2x^{(1)}+x^{(2)}[/mm] = [mm]b^{(2)}[/mm]
> [mm]f(b^{(3)})[/mm] = [mm]x^{(2)}[/mm] = [mm]b^{(2)}-2x^{(1)}=b^{(2)}-2b^{(1)}[/mm]
Es ist [mm] $b^{(3)} [/mm] = [mm] x^{(2)} [/mm] + [mm] x^{(1)}\times x^{(2)}$. [/mm] Wegen der Linearität von $f$ gilt
[mm] $f(b^{(3)}) [/mm] = [mm] f(x^{(2)}) [/mm] + [mm] f(x^{(1)}\times x^{(2)})$.
[/mm]
Der hintere Summand ist Null, weil der Vektor [mm] $x^{(1)}\times x^{(2)}$ [/mm] senkrecht zu [mm] $x^{(1)}$ [/mm] und [mm] $x^{(2)}$ [/mm] steht (Eigenschaft des Kreuzprodukts), d.h. senkrecht zur Projektionsebene. Daher ist
[mm] $f(b^{(3)}) [/mm] = [mm] f(x^{(2)}) [/mm] = [mm] x^{(2)}$.
[/mm]
Nun will man das Bild von f wieder nur durch die Vektoren [mm] $b^{(1)},b^{(2)},b^{(3)}$ [/mm] ausdrücken. Dies gelingt durch Umstellen:
[mm] $x^{(2)} [/mm] = (2 [mm] x^{(1)} [/mm] + [mm] x^{(2)}) [/mm] - 2* [mm] x^{(1)} [/mm] = [mm] b^{(2)}-2 b^{(1)}$.
[/mm]
Daher:
[mm] $f(b^{(3)}) [/mm] = [mm] b^{(2)}-2 b^{(1)}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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Vielen vielen Dank! endlich verstanden!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 Do 28.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo MartinNeumann,
bitte stelle nicht grundlos den Status beantworteter Artikel auf 'unbeantwortet' zurück. Es reicht aus völlig aus, eine neue Frage anzuhängen.
Gruß, Diophant
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