Abbildungsmatrix für Sonne < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich möchte gerne durch eine Abbildungsmatrix für den sonnenverlauf abhängig von der Tageszeit ( von 6 bis 18 uhr) simulieren. Ich gebe mir den Vektor der sonnenstrahlen für 6 uhr vor und berechne dann mithilfe dieser Matrix den vektor der sonnenstrahlen für eine beliebige zeit. Kann mir jemand helfen? |
Wie lässt sich die Abbildungsmatrix darstellen? habe schon an sinus gedacht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich möchte gerne durch eine Abbildungsmatrix für den
> sonnenverlauf abhängig von der Tageszeit ( von 6 bis 18
> uhr) simulieren. Ich gebe mir den Vektor der sonnenstrahlen
> für 6 uhr vor und berechne dann mithilfe dieser Matrix den
> vektor der sonnenstrahlen für eine beliebige zeit. Kann
> mir jemand helfen?
> Wie lässt sich die Abbildungsmatrix darstellen? habe
> schon an sinus gedacht.
Hallo historiker,
das könnte je nach gewünschter Genauigkeit mehr
oder weniger kompliziert werden, je nach der Art der
astronomischen Effekte, welche in die Rechnung ein-
bezogen werden sollen.
Wichtig ist zunächst auch, klarzustellen, in welchem
Koordinatensystem du den Richtungsvektor der Sonnen-
strahlen oder aber den Richtungsvektor der Blickrichtung
vom Beobachter zur Sonne darstellen willst.
Ich nehme einmal an, dass du ein rechtwinkliges
System verwenden willst, dessen Nullpunkt am Ort des
Beobachters auf der Erdoberfläche liegt. x-Richtung nach
Süden (tangential zum Ortsmeridian), y-Richtung nach
Osten (tangential zum lokalen Breitenkreis), z-Richtung
zum Zenit.
Ferner nehme ich einmal an, dass du den Vektor vom
Beobachter zur Sonne nehmen willst (und nicht umgekehrt).
Falls man dann ferner noch (astronomisch nicht korrekt)
annimmt, dass sich die Sonne (von der Erde aus betrachtet !)
in genau 24 Stunden einmal in einer kreisförmigen Bahn
gleichförmig rings um die Polarachse der Erde
dreht und dass der Radius der Erde vernachlässigt werden
darf, dann kommt man tatsächlich auf die einfache
Situation, welche man mittels einer Rotationsmatrix
beschreiben kann.
Bevor ich jetzt aber hier weiter schreibe, möchte ich
mal zurückfragen, ob du mit allen diesen Vereinfachungen
einverstanden bist.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mo 07.12.2009 | | Autor: | historiker |
Hallo,
vielen Dank für die Hinweise. Ich denke mit diesen Vereinfachungen kann ich gut leben. Allerdings sollte der Vektor von der Sonne in Richtung des Betrachters zeigen.
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>> Ich möchte gerne durch eine Abbildungsmatrix für den
>> sonnenverlauf abhängig von der Tageszeit ( von 6 bis 18
>> uhr) simulieren. Ich gebe mir den Vektor der sonnenstrahlen
>> für 6 uhr vor und berechne dann mithilfe dieser Matrix den
>> vektor der sonnenstrahlen für eine beliebige zeit.
>> Wie lässt sich die Abbildungsmatrix darstellen?
> Hallo,
> vielen Dank für die Hinweise. Ich denke mit diesen Verein-
> fachungen kann ich gut leben. Allerdings sollte der Vektor
> von der Sonne in Richtung des Betrachters zeigen.
OK. Die Umkehrung des Richtungsvektors ändert rechnerisch
für die Drehmatrix eigentlich gar nichts.
Sei also [mm] \vec{s}(h) [/mm] der Richtungsvektor der Sonnenstrahlen zur
Stunde [mm] h\in [/mm] [0...24] (z.B. [mm] \vec{s}(14) [/mm] um 14 Uhr).
Vorgeben willst du den Vektor [mm] \vec{s}(6) [/mm] um 6 Uhr morgens.
Setzen wir dann t:=h-6 (Zeitdauer von 6 Uhr bis h Uhr) und
[mm] $\alpha:=\ t*\frac{2*\pi}{24}\ [/mm] =\ [mm] t*\frac{\pi}{12}\ [/mm] =\ [mm] t*15^{\circ}$ [/mm] (Drehwinkel um die Polachse)
Nun entsteht [mm] \vec{s}(h) [/mm] aus [mm] \vec{s}(6) [/mm] durch eine Drehung um den Winkel
[mm] -\alpha [/mm] um die Polachse. Diese liegt in der x-z-Ebene und bildet
mit der x-Achse den Winkel [mm] \varphi [/mm] = geogr. Breite des Beobach-
tungsstandorts. (Polhöhe=geogr. Breite). Um die Drehung um
die Polachse zu beschreiben, führen wir ein Hilfskoordinaten-
system ein: z*-Achse zum Nordpol gerichtet, y*=y, x*-Achse
zum Südpunkt des Himmelsäquators.
In diesem x*-y*-z*-System ist die Drehung einfach die
Rotation um die z*-Achse mit dem Drehwinkel [mm] -\alpha [/mm] und
demzufolge mit der Drehmatrix
$\ [mm] D_{-\alpha}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{cos\,\alpha&sin\,\alpha &0\\-sin\,\alpha &cos\,\alpha&0\\0&0&1}$
[/mm]
Da unsere Vektoren aber im x-y-z-Koordinatensystem leben,
müssen wir sie zunächst ins x*-y*-z*-System transformieren
(durch eine "Kippmatrix" K, welche um den Winkel [mm] 90^{\circ}-\varphi
[/mm]
um die y-Achse dreht) und nach der Drehung mittels [mm] K^{-1}
[/mm]
wieder zurück kippen. Insgesamt ergibt sich dann eine
Gleichung der Form
$\ [mm] \vec{s}(h)\ [/mm] =\ [mm] K^{-1}*D_{-\alpha}*K*\vec{s}(6)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Di 08.12.2009 | | Autor: | historiker |
Hallo,
wenn ich das richtig verstanden habe, dann müssten die Matrizen so aussehen, wenn ich von einem Breitengrad von 50° ausgehe:
[mm] \pmat{ cos40° & 0 & sin40° \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin40° &0 &cos 40° } \pmat{ cos(h-6)15° & sin(h-6)15& 0 \\ -sin(h-6)15 &cos(h-6)15&0 \\0&0&1 }\pmat{cos40° & 0 & -sin40° \\ 0 & 1 & 0 \\ sin40° &0 &cos 40° }
[/mm]
Bliebe nur noch die Frage wie ich meinen sonnenstrahlvektor für 6 uhr wähle. er sollte wohl eher flach verlaufen und von osten nach westen zeigen. vielleicht so: [mm] \vektor{0 \\ -3\\ -1} [/mm] ?
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> Hallo,
> wenn ich das richtig verstanden habe, dann müssten die
> Matrizen so aussehen, wenn ich von einem Breitengrad von
> 50° ausgehe:
> [mm]\pmat{ cos40° & 0 & sin40° \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin40° &0 &cos 40° } \pmat{ cos(h-6)15° & sin(h-6)15& 0 \\ -sin(h-6)15 &cos(h-6)15&0 \\0&0&1 }\pmat{cos40° & 0 & -sin40° \\ 0 & 1 & 0 \\ sin40° &0 &cos 40° }[/mm]
>
> Bliebe nur noch die Frage wie ich meinen sonnenstrahlvektor
> für 6 uhr wähle. er sollte wohl eher flach verlaufen und
> von osten nach westen zeigen. vielleicht so: [mm]\vektor{0 \\ -3\\ -1}\quad ?[/mm]
Hallo historiker,
ich glaube, das sollte soweit stimmen, wobei ich aber
gestehen muss, nicht alle Vorzeichen im Detail über-
prüft zu haben.
So wie die Sonne an verschiedenen Tagen des Jahres
um 6 Uhr an verschiedenen Stellen des Himmels stehen
kann (im Juni vielleicht in Richtung Ost-Nord-Ost schon
deutlich über dem Horizont; im Dezember in Ost-Süd-Ost
noch klar unter dem Horizont), kannst du verschiedene
Werte ausprobieren. Welche davon astronomisch realis-
tisch sind, würde eine nähere Untersuchung erfordern.
Dein Beispiel ist aber für den Anfang sicher geeignet.
Nebenfrage: wozu brauchst du das Ganze ? (ich habe
mir schon überlegt, eine kleine Animation dafür zu er-
stellen, welchen Schatten ein einfaches Objekt wie z.B.
ein Fußballtor im Laufe eines sonnigen Tages auf den
Boden wirft ... )
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Di 08.12.2009 | | Autor: | historiker |
Ich habe gerundet folgende Matrix berechnet:
[mm] \pmat{ 0,6(cos((h-6)15)-1)+1 &0,8sin(h-6)15&0,5(1-cos(h-6)15 )\\-0,8sin(h-6)15&cos(h-6)15&0,6sin(h-6)15 \\0,5(1-cos(h-6)15)&-0,6sin(h-6)15&0,4(cos(h-6)15-1)+1 }
[/mm]
Für 12 Uhr habe ich [mm] \vektor{-2,9 \\ -0,6 \\1,2} [/mm] erhalten, das macht keinen Sinn oder?
Habe für 12 Uhr und den [mm] Vektor\vektor{0 \\ -1 \\0} [/mm] den Vektor [mm] \vektor{-0,8 \\ 0 \\0,6} [/mm] erhalten. Müsste der z-Wert nicht negativ sein?
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> Ich habe gerundet folgende Matrix berechnet:
> [mm]\pmat{ 0,6(cos((h-6)15)-1)+1 &0,8sin(h-6)15&0,5(1-cos(h-6)15 )\\-0,8sin(h-6)15&cos(h-6)15&0,6sin(h-6)15 \\0,5(1-cos(h-6)15)&-0,6sin(h-6)15&0,4(cos(h-6)15-1)+1 }[/mm]
>
> Für 12 Uhr habe ich [mm]\vektor{-2,9 \\ -0,6 \\1,2}[/mm] erhalten,
> das macht keinen Sinn oder?
> Habe für 12 Uhr und den [mm]Vektor\vektor{0 \\ -1 \\0}[/mm] den
> Vektor [mm]\vektor{-0,8 \\ 0 \\0,6}[/mm] erhalten. Müsste der
> z-Wert nicht negativ sein?
Bisher habe ich gar nichts konkret gerechnet.
Hast du alle Klammern richtig gesetzt ?
Probiere auch mal aus, was du erhältst, wenn
du K und [mm] K^{-1} [/mm] vertauschst ...
(das ist zwar etwas primitiv, so ähnlich wie damals
unser Physiklehrer vorging, wenn bei einem elektro-
nischen Experiment nicht alles klappte: er probierte
erst mal aus, was passiert, wenn er einige Kabelver-
bindungen austauschte  )
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Di 08.12.2009 | | Autor: | historiker |
ich habe aufgrund der schreibarbeit die Klammern um das jeweilige Argument weggelassen, ansonsten müsste alles stimmen.
Ich habe noch mal nachgedacht, ob die Drehung um die Polachse mit [mm] -\alpha [/mm] richtig ist. Die Sonne dreht von Ost nach West, also links herum (gegen den Uhrzeigersinn). Müsste dann nicht der Winkel [mm] +\alpha [/mm] sein? Wo befindet sich eigentlich der Koordinatenursprung?
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> ich habe aufgrund der schreibarbeit die Klammern um das
> jeweilige Argument weggelassen, ansonsten müsste alles
> stimmen.
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> Ich habe noch mal nachgedacht, ob die Drehung um die
> Polachse mit [mm]-\alpha[/mm] richtig ist. Die Sonne dreht von Ost
> nach West, also links herum (gegen den Uhrzeigersinn).
> Müsste dann nicht der Winkel [mm]+\alpha[/mm] sein?
So wie ich das Koordinatensystem definiert habe (x-Achse
nach Süden, y-Achse nach Osten, z-Achse zum Zenit) ist
es eine Drehung im Uhrzeigersinn.
> Wo befindet sich eigentlich der Koordinatenursprung?
Da wir die Sonnenstrahlen als parallel und den Erdradius
als vernachläßigbar betrachten, ist dies unerheblich.
Du kannst den Ursprung so legen, dass er in Bezug auf die
darzustellenden Objekte günstig liegt.
LG Al-Chw.
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> Ich habe gerundet folgende Matrix berechnet:
> [mm]\pmat{ 0,6(cos((h-6)15)-1)+1 &0,8sin(h-6)15&0,5(1-cos(h-6)15 )\\-0,8sin(h-6)15&cos(h-6)15&0,6sin(h-6)15 \\0,5(1-cos(h-6)15)&-0,6sin(h-6)15&0,4(cos(h-6)15-1)+1 }[/mm]
>
> Für 12 Uhr habe ich [mm]\vektor{-2,9 \\ -0,6 \\1,2}[/mm] erhalten,
> das macht keinen Sinn oder?
Nein; jetzt mit meinem Progrämmchen nachgerechnet,
erhalte ich: [mm] \vektor{-1.81 \\ 0.64 \\-2.52}
[/mm]
> Habe für 12 Uhr und den [mm]Vektor\vektor{0 \\ -1 \\0}[/mm] den
> Vektor [mm]\vektor{-0,8 \\ 0 \\0,6}[/mm] erhalten. Müsste der
> z-Wert nicht negativ sein?
Klar; richtig wäre: [mm] \vektor{-0.77 \\ 0 \\-0.64}
[/mm]
Der Fehler in deiner Rechnung ist vermutlich der, dass
du beim "Kippen" jeweils verkehrt rum gedreht hast.
LG
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Hallo,
ich habe jetzt die Berechnung auf dem Voyage program-
miert und konnte die Ergebnisse an Beispielen (z.B.
auch für einen Standort am Aequator oder am Nordpol)
nachprüfen.
Aus dem Richtungsvektor [mm] \vec{r} [/mm] der Sonnenstrahlen um 6 Uhr
berechne ich jenen zum Zeitpunkt h=6+t (in Stunden) so:
1.) $\ [mm] s:=sin(t*15^{\circ});\ [/mm] \ [mm] c:=cos(t*15^{\circ})$
[/mm]
$\ [mm] D:=\pmat{c&s&0\\-s&c&0\\0&0&1}$
[/mm]
2.) $\ [mm] sf:=sin(\phi);\ [/mm] \ [mm] cf:=cos(\phi)$ (\phi [/mm] = geogr. Breite)
$\ [mm] K:=\pmat{sf&0&cf\\0&1&0\\-cf&0&sf}$
[/mm]
3.) [mm] $\vec{r}(h):=\ K^T*D*K*\vec{r}(6)$ [/mm] (es gilt [mm] K^T=K^{-1})
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Do 10.12.2009 | | Autor: | historiker |
Hallo,
vielen Dank. Ich habe mir noch mal eine Skizze gemacht und mich über die himmelskugel informiert. Mir fiel dann mein Fehler auf. Ich habe falsch rum gedreht. Danke. Ich suche jetzt nach einem Sonnenstrahlvektor für 6 uhr und hoffe, dass das ganze machbar ist.
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> Hallo,
> vielen Dank. Ich habe mir noch mal eine Skizze gemacht und
> mich über die himmelskugel informiert. Mir fiel dann mein
> Fehler auf. Ich habe falsch rum gedreht. Danke. Ich suche
> jetzt nach einem Sonnenstrahlvektor für 6 uhr und hoffe,
> dass das ganze machbar ist.
Den richtigen Sonnenstrahlvektor für jeden beliebigen
Standort und Zeitpunkt kannst du mit etwas Trigonometrie
berechnen, wenn du z.B. von da:
![[]](/images/popup.gif) Online Ephemeriden
die Ephemeriden (Azimut und Höhe) der Sonne beziehst.
Ich habe z.B. für heute früh 6 Uhr und Berlin [mm] (\phi\approx 52^{\circ}) [/mm] den
Richtungsvektor (-0.23,-0.92,0.31) bekommen (um
6 Uhr war die Sonne noch etwa 18° unter dem Horizont).
Am 10. Juni 6 Uhr steht die Sonne über Berlin aber schon
etwa 9° über dem Horizont; Richtungsvektor der Sonnen-
strahlen (0.44,-0.89,-0.16) .
Nach der mühsamen Elimination einer Reihe dummer Fehler
funktioniert mein Programm schon leidlich. Beispiel:
Berlin heute (10.Dez.) 14 Uhr:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das quaderförmige Haus ist nur etwa 12% höher als breit;
Süden ist unten.
Dasselbe am 10. Juni, auch um 14 Uhr:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(der Schatten ist am 10. Dezember um 14 Uhr etwa 9 mal
so lang wie am 10. Juni um dieselbe Uhrzeit !)
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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