Abbildungsmatrizen für Basen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mo 11.02.2013 | | Autor: | moti |
| Aufgabe | In R2 seien die Vektoren v1 = e1 − e2 und v2 = e1 gegeben. Weiter sei eine lineare Abbildung A : R2 → R2 definiert durch
A(v1) = v1 − v2 und A(v2) = −v1.
a) Ist B = (v1, v2) eine Basis von R2? b) Geben Sie die Abbildungsmatrix A von A bez. der Basis B an.
c) Wie lautet die Abbildungsmatrix A ̃ von A bez. der Standardbasis B0 = (e1, e2)? d) Berechnen Sie A(2e1 − e2).
Hier nochmal schön formatiert (da erkennt man die geschwungenen A und B besser):
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Mein Problem ist, dass ich mir nicht über meine Lösungswege sicher bin. Ich viele verschiedene Lösungen für Aufgabenteil c und d gefunden. Bitte kann mir jemand sagen, ob man die c so machen darf, oder ob das mit der Basistransformation falsch ist. Bin mir einfach absolut unsicher. Und ich rechne jetzt schon 2 Wochen immer wieder dran rum und bekomm immer wieder neue Ideen und Lösungen...
Hier mein Lösungsversuch:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Über Hilfe würde ich mich freuen! :)
Hab in 3 Tagen Prüfung ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> In R2 seien die Vektoren v1 = e1 − e2 und v2 = e1
> gegeben. Weiter sei eine lineare Abbildung A : R2 → R2
> definiert durch
> A(v1) = v1 − v2 und A(v2) = −v1.
> a) Ist B = (v1, v2) eine Basis von R2? b) Geben Sie die
> Abbildungsmatrix A von A bez. der Basis B an.
> c) Wie lautet die Abbildungsmatrix A ̃ von A bez. der
> Standardbasis B0 = (e1, e2)? d) Berechnen Sie A(2e1 −
> e2).
>
> Hier nochmal schön formatiert (da erkennt man die
> geschwungenen A und B besser):
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Mein Problem ist, dass ich mir nicht über meine
> Lösungswege sicher bin. Ich viele verschiedene Lösungen
> für Aufgabenteil c und d gefunden. Bitte kann mir jemand
> sagen, ob man die c so machen darf, oder ob das mit der
> Basistransformation falsch ist. Bin mir einfach absolut
> unsicher. Und ich rechne jetzt schon 2 Wochen immer wieder
> dran rum und bekomm immer wieder neue Ideen und
> Lösungen...
>
> Hier mein Lösungsversuch:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Es ist alles korrekt, bis auf die letzte Gleichung.
Wenn Du [mm] A(2e_1-e_2) [/mm] mit der Basis B berechnen willst, mußt Du [mm] 2e_1-e_2 [/mm] duch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] darstellen !
FRED
>
> Über Hilfe würde ich mich freuen! :)
> Hab in 3 Tagen Prüfung ;)
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mo 11.02.2013 | | Autor: | moti |
> Es ist alles korrekt, bis auf die letzte Gleichung.
>
> Wenn Du [mm]A(2e_1-e_2)[/mm] mit der Basis B berechnen willst, mußt
> Du [mm]2e_1-e_2[/mm] duch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] darstellen !
>
> FRED
Wirklich, alles so korrekt. Das überrascht mich ein wenig^^ Vielen Dank für die Bestätigung!!!!
Also die Berechnung von $ [mm] A(2e_1-e_2) [/mm] $ bzgl. der Standardbasis [mm] $B_0$ [/mm] ist korrekt, aber die Berechnung in der Basis $B$ nicht? Hab ich das richtig verstanden?
Okay, dann geht das wohl so, wenn man das ganze bezüglich der Basis B berechnen will:
$ 2 [mm] e_1-e_2 [/mm] = [mm] v_1 +v_2 [/mm] $
$ A [mm] (v_1+v_2) [/mm] = [mm] A(v_1)+A(v_2)=(v_1-v_2)+(-v_1)=-v_2=-e_1$
[/mm]
= [mm] \vektor{-1 \\ 0}
[/mm]
Ah, dann komm ich auch auf das gleiche Ergebnis, wie wenn ich das ganze in Basis [mm] $B_0$ [/mm] darstelle. Ist das Zufall oder muss das so sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist alles korrekt, bis auf die letzte Gleichung.
> >
> > Wenn Du [mm]A(2e_1-e_2)[/mm] mit der Basis B berechnen willst, mußt
> > Du [mm]2e_1-e_2[/mm] duch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] darstellen !
> >
> > FRED
>
>
> Wirklich, alles so korrekt. Das überrascht mich ein
> wenig^^ Vielen Dank für die Bestätigung!!!!
>
> Also die Berechnung von [mm]A(2e_1-e_2)[/mm] bzgl. der Standardbasis
> [mm]B_0[/mm] ist korrekt, aber die Berechnung in der Basis [mm]B[/mm] nicht?
> Hab ich das richtig verstanden?
Ja
>
> Okay, dann geht das wohl so, wenn man das ganze bezüglich
> der Basis B berechnen will:
> [mm]2 e_1-e_2 = v_1 +v_2[/mm]
>
> [mm]A (v_1+v_2) = A(v_1)+A(v_2)=(v_1-v_2)+(-v_1)=-v_2=-e_1[/mm]
> =
> [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm]
>
> Ah, dann komm ich auch auf das gleiche Ergebnis, wie wenn
> ich das ganze in Basis [mm]B_0[/mm] darstelle. Ist das Zufall oder
> muss das so sein?
Das muß so sein !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Mo 11.02.2013 | | Autor: | moti |
Supercool, vielen Dank! Dann wirds ja vielleicht doch noch was mit der Prüfung^^> > > Es ist alles korrekt, bis auf die letzte Gleichung.
> > >
> > > Wenn Du [mm]A(2e_1-e_2)[/mm] mit der Basis B berechnen willst, mußt
> > > Du [mm]2e_1-e_2[/mm] duch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] darstellen !
> > >
> > > FRED
> >
> >
> > Wirklich, alles so korrekt. Das überrascht mich ein
> > wenig^^ Vielen Dank für die Bestätigung!!!!
> >
> > Also die Berechnung von [mm]A(2e_1-e_2)[/mm] bzgl. der Standardbasis
> > [mm]B_0[/mm] ist korrekt, aber die Berechnung in der Basis [mm]B[/mm] nicht?
> > Hab ich das richtig verstanden?
>
> Ja
>
>
> >
> > Okay, dann geht das wohl so, wenn man das ganze bezüglich
> > der Basis B berechnen will:
> > [mm]2 e_1-e_2 = v_1 +v_2[/mm]
> >
> > [mm]A (v_1+v_2) = A(v_1)+A(v_2)=(v_1-v_2)+(-v_1)=-v_2=-e_1[/mm]
> >
> =
> > [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm]
> >
> > Ah, dann komm ich auch auf das gleiche Ergebnis, wie wenn
> > ich das ganze in Basis [mm]B_0[/mm] darstelle. Ist das Zufall oder
> > muss das so sein?
>
> Das muß so sein !
>
> FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mo 11.02.2013 | | Autor: | moti |
Bei der c) der "Weg 2" von mir:
Ich hab für das T genau die Basis B raus. Wenn ich aber jetzt das ganze nicht in der Standardbasis $ [mm] B_0 [/mm] $ darstellen wöllte, sondern in einer ganz anderen Basis, z.B. $ [mm] B_1 [/mm] $, was wähle ich dann als T?
Nehmen wir an die Aufgabe c) wäre anders gewesen und zwar so:
"Wie lautet die Abbildungsmatrix $ [mm] A_1 [/mm] $ von A bez. der Basis $ [mm] B_1 [/mm] = (2 [mm] e_1+e_2, [/mm] 4 [mm] e_2) [/mm] $ ?"
oder so ähnlich.
Wie erhalte ich dann mein T? Das muss ich dann wohl irgendwie anders bestimmen....
Meine Idee wäre: $ T [mm] \cdot B_1 [/mm] = B$
Aus dieser Gleichung dann das T bestimmen und hier einsetzen:
$ [mm] A_1 [/mm] = [mm] T^{-1} \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] T $
Und man bekommt das $ [mm] A_1 [/mm] $ raus.
Allerdings scheitere ich gerade beim ausrechnen von T, sonst würd ich noch ein Zahlenergebnis posten...
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:55 Mo 11.02.2013 | | Autor: | moti |
Zur zusätzlichen Aufgabe mit $ [mm] B_1 [/mm] $ und $ [mm] A_1 [/mm] $
Hab für T jetzt folgendes raus:
T= [mm] \pmat{ 3/8 & 1/4 \\ -1/2 & 0 }
[/mm]
$ [mm] T^{-1} [/mm] $ = [mm] \pmat{ 0 & -2 \\ 4 & 3 }
[/mm]
$ [mm] A_1 [/mm] = [mm] T^{-1} \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] T $ = [mm] \pmat{ 3/4 & 1/2 \\ 19/8 & 1/4 } [/mm]
kann das stimmen?
> Bei der c) der "Weg 2" von mir:
> Ich hab für das T genau die Basis B raus. Wenn ich aber
> jetzt das ganze nicht in der Standardbasis [mm]B_0[/mm] darstellen
> wöllte, sondern in einer ganz anderen Basis, z.B. [mm]B_1 [/mm],
> was wähle ich dann als T?
>
> Nehmen wir an die Aufgabe c) wäre anders gewesen und zwar
> so:
> "Wie lautet die Abbildungsmatrix [mm]A_1[/mm] von A bez. der Basis
> [mm]B_1 = (2 e_1+e_2, 4 e_2)[/mm] ?"
> oder so ähnlich.
>
> Wie erhalte ich dann mein T? Das muss ich dann wohl
> irgendwie anders bestimmen....
>
> Meine Idee wäre: [mm]T \cdot B_1 = B[/mm]
> Aus dieser Gleichung
> dann das T bestimmen und hier einsetzen:
>
> [mm]A_1 = T^{-1} \cdot A \cdot T[/mm]
>
> Und man bekommt das [mm]A_1[/mm] raus.
>
>
> Allerdings scheitere ich gerade beim ausrechnen von T,
> sonst würd ich noch ein Zahlenergebnis posten...
>
>
> > > [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Bei der c) der "Weg 2" von mir:
> Ich hab für das T genau die Basis B raus. Wenn ich aber
> jetzt das ganze nicht in der Standardbasis [mm]B_0[/mm] darstellen
> wöllte, sondern in einer ganz anderen Basis, z.B. [mm]B_1 [/mm],
> was wähle ich dann als T?
>
> Nehmen wir an die Aufgabe c) wäre anders gewesen und zwar
> so:
> "Wie lautet die Abbildungsmatrix [mm]A_1[/mm] von A bez. der Basis
> [mm]B_1 = (2 e_1+e_2, 4 e_2)[/mm] ?"
> oder so ähnlich.
Hallo,
Du hast also eine lineare Abbildung f, deren darstellende Matrix [mm] _CM(f)_C [/mm] bzgl. einer Basis C Dir bereits vorliegt, und Du möchtest wissen,wie man nun [mm] _DM(f)_D, [/mm] die darstellende Matrix dieser Abbildung bzgl einer anderen Basis D, berechnet.
Es ist [mm] _DM(f)_D=_DM(id)_C*_CM(f)_C*_CM(id)_D.
[/mm]
In den Spalten von [mm] _CM(id)_D [/mm] stehen die Basisvektoren von D in Koordinaten bzgl C,
in den Spalten von [mm] _DM(id)_C [/mm] stehen die Basisvektoren von C in Koordinaten bzgl D.
Die beiden Matrizen sind invers zueinander.
Besonders einfach ist es immer, wenn die Standardbasis [mm] B_0 [/mm] und eine andere Basis B im Spiel sind:
es ist [mm] _{B_0}M(id)_B [/mm] die Matrix, die die Basisvektoren von B in den Spalten enthält.
Die Matrix [mm] _CM(id)_D [/mm] kannst Du auch über den Weg über [mm] B_0 [/mm] berechnen, wenn Du willst:
[mm] _CM(id)_D=_CM(id)_{B_0}*_{B_0}M(id)_D=(_{B_0}M(id)_C)^{-1}*_{B_0}M(id)_D.
[/mm]
Ich hoffe, Du kommst mit meiner Notation klar.
LG Angela
>
> Wie erhalte ich dann mein T? Das muss ich dann wohl
> irgendwie anders bestimmen....
>
> Meine Idee wäre: [mm]T \cdot B_1 = B[/mm]
> Aus dieser Gleichung
> dann das T bestimmen und hier einsetzen:
>
> [mm]A_1 = T^{-1} \cdot A \cdot T[/mm]
>
> Und man bekommt das [mm]A_1[/mm] raus.
>
>
> Allerdings scheitere ich gerade beim ausrechnen von T,
> sonst würd ich noch ein Zahlenergebnis posten...
>
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> > > [Dateianhang nicht öffentlich]
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