Abelsch, 2.Isomorphiesatz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Do 05.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Es seien N und U Normalteiler der Gruppe G mit N [mm] \subseteq [/mm] U. Ist G/U zyklisch und gilt |U/N|=2, so ist G/N abelsch. |
Hallo,
Ich will zeigen, dass G/N zyklisch ist, denn dann ist G/N auch abelsch.
Das ganze sieht nach 2.Isomorphiesatz aus:
[mm] (G/N)/(U/N)\cong [/mm] G/U
Da G/U zyklisch ist und es einen Isomorphismus nach (G/N)/(U/N) gibt folgt, dass (G/N)/(U/N) zyklisch ist.
Bezeichne G/N:=H, U/N=:K
|U/N|=|K|=2 [mm] \rightarrow K=\{e,k\}
[/mm]
D.h. die Linksnebenklasse von [mm] a\in [/mm] H nach K ist: [mm] aK=\{a*k|k\in K\}=\{a,ak\}
[/mm]
Die Menge der Linksnebenklassen von H nach K sieht also so aus: [mm] L=\{h,hk|h \in H \}
[/mm]
Nach dem 2.Isomorphiesatz ist die Menge der Linksnebenklassen zyklisch, [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] H/K: <x>=H/K
Nach den Vorbemerkungen H/K=<x>=<aK>=<ak>.
Daraus muss doch irgendwie folgen, dass H auch davon erzeugt wird? Den Schluß schaffe ich aber nicht.
Eine allgemeine Frage hätte eich auch noch:
Hat das Bsp irgendeinen praktischen Nutzen? Erkenne ich durch das Bsp die Kommutativität von irgendwelchen kennbaren Gruppen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Do 05.02.2015 | | Autor: | MacMath |
Wenn du die Aussage nicht von abelsch auf zyklisch verschärft hättest, während die Erfolgsaussichten sicherlich größer. Das, was du jetzt zeigen willst, ist i.A. falsch.
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Hallo,
$H$ muss nicht zyklisch sein. Unsere Voraussetzungen sind $H/K$ zyklisch, $K$ Ordnung $2$. Sei [mm] $\overline{h}$ [/mm] ein Erzeuger von $H/K$ und $k$ der (eindeutig bestimmte) Erzeuger von $K$, also das Element der Ordnung $2$. Dann gilt [mm] $H=\langle h,k\rangle$. [/mm] Es genügt zu zeigen, dass $h$ und $k$ kommutieren, oder äquivalent, dass [mm] $hkh^{-1}=k$. [/mm] Daran kannst du dich ja mal versuchen. Falls du nicht weiterkommst, kannst du dir die frühere Version dieser Antwort ansehen, ich habe nämlich gerade nachträglich entschieden, den letzten Teil dir zu überlassen 
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Fr 06.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Trotz Panik etwas ganz triviales nicht zu verstehen, frag ich trotzdem.
Ich sehe nicht wieso H=<h,k> gilt, wie folgt das?
LG,
sissi
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$H$ ist die Vereinigung der Nebenklassen von $K$. Sei [mm] $x\in [/mm] H$. Dann gibt es ($h$ ist ja der Erzeuger von $H/K$) ein [mm] $n\in\IN$, [/mm] sodass $xK=h^nK$. Es gilt aber [mm] $xK=\{x,xk\}$ [/mm] und [mm] $h^nK=\{h^n,h^nk\}$ [/mm] also [mm] $x=h^n$ [/mm] oder $x=h^nk$, in jedem Fall aber [mm] $x\in\langle h,k\rangle$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Fr 06.02.2015 | | Autor: | sissile |
Mir ist alles bis auf eine Sache klar, wenn <h>=H/K, und H die Vererinigung der nebenklassen von K ist.
Ist dann x [mm] \in [/mm] H: [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN: xK=h^n
[/mm]
Aber du hast noch ein K hinter dem [mm] h^n, [/mm] was ich nicht verstehe wieso das hingehört. Denn xK ist ja ein Element von H/K, muss also nur durch eine Potenz von h dargestellt werden können.
Ich hoffe du verstehst meine Frage.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Sa 07.02.2015 | | Autor: | hippias |
Deine Frage ist berechtigt. Das Missverstaendnis beruht auf unsauberer, aber ueblicher, Ausdrucksweise. Wenn $H/K=<h>$ ist, dann gehoert streng genommen kein $K$ hinter [mm] $h^{n}$. [/mm] Es war so gemeint: Es sei [mm] $h\in [/mm] H$ so, dass $H/K=<hK>$ gilt. Etc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Sa 07.02.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank euch beiden,
nun ist alles klar.
Liebe Grüße,
sissi
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