Abelsche Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Di 30.09.2014 | | Autor: | Imperio |
| Aufgabe | | Man bestimme (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen der Ordnung 144. |
Hallo,
ich wäre sehr dankbar, falls jemand schauen könnte, ob meine Lösung stimmt :)
[mm] \IZ/144\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/72\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/4\IZ \oplus \IZ/36\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/6\IZ \oplus \IZ/24\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/3\IZ \oplus \IZ/48\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/12\IZ \oplus \IZ/12\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/6\IZ \oplus \IZ/12\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/6\IZ \oplus \IZ/6\IZ
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Es gibt $5$ abelsche Gruppen der Ordnung $16$ und $2$ abelsche Gruppen der Ordnung $9$. Folglich müsstest du $2*5=10$ abelsche Gruppen der Ordnung $9*16=144$ finden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:18 Mi 01.10.2014 | | Autor: | Imperio |
Hallo UniversellesObjekt,
danke für deine Antwort!
Diese zwei Gruppen fehlen noch, richtig?
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/36\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/18\IZ
[/mm]
> Es gibt [mm]5[/mm] abelsche Gruppen der Ordnung [mm]16[/mm] und [mm]2[/mm] abelsche
> Gruppen der Ordnung [mm]9[/mm].
Mir ist nicht klar, warum es genau 5 und 2 abelesche Gruppen gibt, könntest du mir bitte erklären, wie man darauf kommt?
> abelsche Gruppen der Ordnung [mm]9*16=144[/mm] finden.
Gilt diese Regel immer? Z.B. für die Gruppe der Ordnung 1400 = 2*2*2*2*5*5*7 gibt es nur abelsche Gruppen der Ordnung 8, 25 und 7?
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Hallo,
> Hallo UniversellesObjekt,
>
> danke für deine Antwort!
>
> Diese zwei Gruppen fehlen noch, richtig?
> [mm]\IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/36\IZ[/mm]
> [mm]\IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/18\IZ[/mm]
>
>
> > Es gibt [mm]5[/mm] abelsche Gruppen der Ordnung [mm]16[/mm] und [mm]2[/mm] abelsche
> > Gruppen der Ordnung [mm]9[/mm].
> Mir ist nicht klar, warum es genau 5 und 2 abelesche
> Gruppen gibt, könntest du mir bitte erklären, wie man
> darauf kommt?
Für Primzahlpotenzen kann man das recht leicht ausprobieren. Mit Exponent $4$ erhält man etwa $5$ Gruppen:
[mm] $\IZ/p^4$,
[/mm]
[mm] $\IZ/p^3\oplus\IZ/p [/mm] $,
[mm] $\IZ/p^2\oplus\IZ/p^2$,
[/mm]
[mm] $\IZ/p^2\oplus\IZ/p\oplus\IZ/p [/mm] $,
[mm] $\IZ/p\oplus\IZ/p\oplus\IZ/p\oplus\IZ/p [/mm] $.
Hier nimmt man $ p=2$.
> > abelsche Gruppen der Ordnung [mm]9*16=144[/mm] finden.
> Gilt diese Regel immer? Z.B. für die Gruppe der Ordnung
Diese Regel gilt, da 9 und 16 teilerfremd sind.
> 1400 = 2*2*2*2*5*5*7 gibt es nur abelsche Gruppen der
> Ordnung 8, 25 und 7?
Nein, wir haben $5$ mal Ordnung $16$, $2$ mal Ordnung $25$ und einmal Ordnung $7$, also wieder $10$ Möglichkeiten.
Seien $ m, n $ teilerfremd. Bis auf Isomorphie sind Gruppen der Ordnung $ mn $ genau $ [mm] A\oplus [/mm] B $ mit $ A$ von Ordnung $ m $ und $ B$ von Ordnung $ n $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 02.10.2014 | | Autor: | Imperio |
Danke für deine Erklärung. Könntest du bitte noch schauen, ob ich alles richtig verstanden habe.
Z.B. für die Gruppe der Ordnung [mm] 2^5*3^2*5^3*7^2*11 [/mm] haben wir 7 mal der Ordnung 32, 2 mal der Ordnung 9, 3 mal der Ordnung 125, 2 mal der Ordnung 7 und 1 mal der Ordnung 11. Also insgesamt 7*2*3*2*1 = 84 Möglichkeiten.
> Seien [mm]m, n[/mm] teilerfremd. Bis auf Isomorphie sind Gruppen der
> Ordnung [mm]mn[/mm] genau [mm]A\oplus B[/mm] mit [mm]A[/mm] von Ordnung [mm]m[/mm] und [mm]B[/mm] von
> Ordnung [mm]n [/mm].
Warum müssen sie teilerfremd sein?
> [mm]\IZ/p^4[/mm],
> [mm]\IZ/p^3\oplus\IZ/p [/mm],
> [mm]\IZ/p^2\oplus\IZ/p^2[/mm],
> [mm]\IZ/p^2\oplus\IZ/p\oplus\IZ/p [/mm],
> [mm]\IZ/p\oplus\IZ/p\oplus\IZ/p\oplus\IZ/p [/mm].
Hier sind sie natürlich nicht teilerfremd, aber diese Aussage stimmt trotzdem.
Und noch eine ganz dumme Frage. Ich habe die Aufgabe gesehen, wo man (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen der Ordnung 100 bestimmen soll.
Ich würde sagen, dass es diese Gruppen gibt:
[mm] \IZ/100\IZ, \IZ/2\IZ \oplus \IZ/50\IZ, \IZ/5\IZ \oplus \IZ/20\IZ [/mm] und [mm] \IZ/10\IZ \oplus \IZ/10\IZ.
[/mm]
Aber die Lösung lautet:
[mm] \IZ/4 \times \IZ/25, \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/25, \IZ/4 \times \IZ/5 \times \IZ/5, \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/5 \times \IZ/5.
[/mm]
Was bedeutet dieses Symbol [mm] \times [/mm] ?
Die Elemente von [mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ [/mm] sind Tupeln: (0, 0), (0, 1), (1, 0) und (1, 1). Und wie sehen die Elemente aus der Gruppe [mm] \IZ/2 \times \IZ/2 [/mm] aus?
Viele Grüße
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> Danke für deine Erklärung. Könntest du bitte noch
> schauen, ob ich alles richtig verstanden habe.
> Z.B. für die Gruppe der Ordnung [mm]2^5*3^2*5^3*7^2*11[/mm] haben
> wir 7 mal der Ordnung 32, 2 mal der Ordnung 9, 3 mal der
> Ordnung 125, 2 mal der Ordnung 7 und 1 mal der Ordnung 11.
> Also insgesamt 7*2*3*2*1 = 84 Möglichkeiten.
Hallo,
Das sieht richtig aus - wenigstens von du dich bei der Anzahl der Gruppen von Primzahlpotenzordnung nicht verzählt hast.
> > Seien [mm]m, n[/mm] teilerfremd. Bis auf Isomorphie sind Gruppen der
> > Ordnung [mm]mn[/mm] genau [mm]A\oplus B[/mm] mit [mm]A[/mm] von Ordnung [mm]m[/mm] und [mm]B[/mm] von
> > Ordnung [mm]n [/mm].
>
> Warum müssen sie teilerfremd sein?
Das sieht man doch schon durch Gegenbeispiel. 1 von Ordnung 2 aber [mm] $2\not=1\cdot [/mm] 1$ von Ordnung [mm] $4=2\cdot [/mm] 2$.
> > [mm]\IZ/p^4[/mm],
> > [mm]\IZ/p^3\oplus\IZ/p [/mm],
> > [mm]\IZ/p^2\oplus\IZ/p^2[/mm],
> > [mm]\IZ/p^2\oplus\IZ/p\oplus\IZ/p [/mm],
> >
> [mm]\IZ/p\oplus\IZ/p\oplus\IZ/p\oplus\IZ/p [/mm].
> Hier sind sie
> natürlich nicht teilerfremd, aber diese Aussage stimmt
> trotzdem.
>
> Und noch eine ganz dumme Frage. Ich habe die Aufgabe
> gesehen, wo man (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen
> der Ordnung 100 bestimmen soll.
> Ich würde sagen, dass es diese Gruppen gibt:
> [mm]\IZ/100\IZ, \IZ/2\IZ \oplus \IZ/50\IZ, \IZ/5\IZ \oplus \IZ/20\IZ[/mm]
> und [mm]\IZ/10\IZ \oplus \IZ/10\IZ.[/mm]
> Aber die Lösung lautet:
> [mm]\IZ/4 \times \IZ/25, \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/25, \IZ/4 \times \IZ/5 \times \IZ/5, \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/5 \times \IZ/5.[/mm]
>
> Was bedeutet dieses Symbol [mm]\times[/mm] ?
> Die Elemente von [mm]\IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ[/mm] sind Tupeln: (0,
> 0), (0, 1), (1, 0) und (1, 1). Und wie sehen die Elemente
> aus der Gruppe [mm]\IZ/2 \times \IZ/2[/mm] aus?
>
> Viele Grüße
Für [mm] $\times [/mm] $ google mal "Produkt von Gruppen". Im allgemeinen ist es etwas völlig anderes als die direkte Summe, aber hier kannst du es als dasselbe ansehen. Ansonsten hast du dieselben 4 Lösungen angegeben wie die Musterlösung - es gilt etwa [mm] $\IZ/100\cong\IZ/4\oplus\IZ/25$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 03.10.2014 | | Autor: | Imperio |
Hallo,
Hm, ich probiere mal meine Aufgabe (alle abelschen Gruppen der Ordnung 144) mit diesem Produkt von Gruppen zu machen.
[mm] \IZ/144\IZ \cong \IZ/16 \times \IZ/9
[/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/72\IZ \cong \IZ/2 \times \IZ/8 \times \IZ/9 [/mm]
[mm] \IZ/4\IZ \oplus \IZ/36\IZ \cong \IZ/4 \times \IZ/4 \times \IZ/9
[/mm]
[mm] \IZ/6\IZ \oplus \IZ/24\IZ \cong \IZ/2 \times \IZ/3 \times \IZ/3 \times \IZ/8
[/mm]
[mm] \IZ/3\IZ \oplus \IZ/48\IZ \cong \IZ/3 \times \IZ/3 \times \IZ/16
[/mm]
[mm] \IZ/12\IZ \oplus \IZ/12\IZ \cong \IZ/3 \times \IZ/3 \times \IZ/4 \times \IZ/4 [/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/6\IZ \oplus \IZ/12\IZ \cong \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/3 \times \IZ/3 \times \IZ/4
[/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/6\IZ \oplus \IZ/6\IZ \cong \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/3 \times \IZ/3
[/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/36\IZ \cong \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/4 \times \IZ/9
[/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/18\IZ \cong \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/2 \times \IZ/9
[/mm]
Stimmt es so?
Aber hier könnte man überall [mm] \oplus [/mm] statt [mm] \times [/mm] schreiben, oder?
Viele Grüße
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Genau. Du bestimmst 5 Gruppen der Ordnung 16 und für jede solche $ A $ sind $ [mm] A\oplus\IZ/9$ [/mm] und $ [mm] A\oplus \IZ/3\oplus\IZ/3$ [/mm] zwei nicht isomorphe Gruppen der Ordnung 144 .
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Sa 04.10.2014 | | Autor: | Imperio |
Vielen Dank für deine Erklärungen!
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