Abelsche endliche einfache Gr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Sa 07.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Eine abelsche endliche Gruppe G ist genau dann einfach, wenn ihre Ordnung eine Primzahl ist. |
Hallo,
Die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] ist leicht zu lösen:
Die Ordnung jeder Untergruppe von G muss ord(G) nach Lagrange teilen.
Somit hat G nur die trivalen Untergruppen. Also kann G auch nur tiviale Normalteiler enthalten.
Für die Richtung [mm] \Rightarrow:
[/mm]
Sei G abelsch und besitze nur triviale Normalteiler.
Außerdem sei |G|=n mit n [mm] \in \IN
[/mm]
So besitzt G auch nur triviale Untergruppen denn bei abelsche Gruppen ist jede Untergruppe auch ein Normalteiler.
D.h. aber für jedes Element [mm] a\in [/mm] G gilt <a>=e oder <a>=G
Für [mm] G=\{e\} [/mm] wäre die Aussage doch dann falsch, weil 1 keine Primzahl ist??
Angenommen [mm] G\not= \{e\} [/mm] so gilt füt alle [mm] a\in G\setminus\{e\}: [/mm] <a>=G
Eine zyklische endliche Gruppe besitzt aber zu jedem Teiler d [mm] \in \IN [/mm] von |G| eine Untergruppe der Ordnung d nämlich [mm] . [/mm] Also muss n eine Primzahl sein.
LG,
sissi
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Hallo,
Die triviale Gruppe ist nicht einfach. Siehe ![[]](/images/popup.gif) Too simple to be simple. Der Rest ist richtig, so wie du es schreibst. Übrigens kann man in der Aussage natürlich auf die Endlichkeit verzichten.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Sa 07.02.2015 | | Autor: | sissile |
Danke dafür.
Warum kann man auf die Endlichkeit verzichten? Wir hatten beim Satz von Lagrange als Unterpunkt stehen:
Sei G eine Gruppe und H [mm] \le [/mm] G. Dann gilt:
|G|=[G:H]*|H|
Ist G endlich so |H| teilt|G| bzw. Ist G endlich und a [mm] \in [/mm] G, so ord(a) teilt |G|.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 So 08.02.2015 | | Autor: | hippias |
Obwohl der Satz von Lagrange nur fuer endliche Mengen einen guten Sinn ergibt, ist folgende Aussage wahr:
Eine abelsche Gruppe ist genau dann einfach, wenn sie von Primzahlordnung ist.
D.h. die Endlichkeit folgt aus der Einfachheit. Man muss eben ohne den Satz von Lagrange argumentieren. Ich bin mir sicher, dass Du auch einen Beweis fuer die Verschaerfung findest. Sonst frage nocheinmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 08.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich denke ich habs hinbekommen:
Satz:Jede abelsche Gruppe G ist einfach genaudann wenn sie primzahlordnung hat.
[mm] \Leftarrow): [/mm] Es sei G abelsch und |G|=p.
Hier läuft der Bew. wie zuvor ab, da wir ja eine endliche Gruppe G haben.
[mm] \Rightarrow):
[/mm]
Sei G eine Gruppe unendlicher Ordnung:
Es gilt [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G: <a> [mm] \subseteq [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] <a> Normalteiler von G
Da G einfach ist folgt <a>=G oder <a>=e.
Wenn [mm] a\in G\setminus\{e\} [/mm] so gilt <a>=G. D.h. G ist zyklisch und unendlicher Ordnung. Nach einen Satz gilt G [mm] \cong \IZ.
[/mm]
Aber [mm] \IZ [/mm] hat auch unendlich viele nichttriviale Normalteiler.
Daraus folgt, dass G mit unseren Annahmen endlich ist und der Bew. von Beitrag 1 wird übernommen.
LG,
sissi
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 So 08.02.2015 | | Autor: | sissile |
Danke an euch!
LG,
sissi
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