Abelsche partielle Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] sind reelle Zahlenfolgen
a) Beweise die ABELsche Summation:
Mit [mm] A_n:= \summe_{i=1}^{n}a_i [/mm] gilt für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n}A_{i-1} (b_i-b_{i-1}= A_nb_n
[/mm]
Hieraus folgere man: Wenn die Folge [mm] (A_n) [/mm] beschränkt, die Folge [mm] (b_n) [/mm] monoton und beschränkt und die Folge [mm] (A_nb_n)konvergent [/mm] ist, dann konvergiert auch die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_nb_n.
[/mm]
b) Beweise mittels (a) erneut die Regel von Leibnitz.
c) Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_nb_n [/mm] ist konvergent, wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] beschränkte Teilsummen hat und [mm] b_n [/mm] eine monotone Nullfolge ist. (DIRICHLETsches Kriterium) |
Kann mir hierbei vielleicht jemand helfen? ich komme mit der Aufgabe gar nicht zurecht. Schon bei a) iriitiert mich das [mm] A_{i-1} [/mm] nach dem Summezeichen und auch so kann ich weder leibnitz noch dirichlet Kriterium auf a) anwenden.
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Richtigkeit der Summation kannst du per Induktion zeigen.
Und wenn du zeigen willst, dass [mm] \summe_{i=1}^{n}a_ib_i [/mm] konvergiert, kannst du die andere Summe auf die andere Seite ziehen und nach oben durch einen konvergenten Ausdruck abschätzen, da ja [mm] |A_n|
Für b) und c) selber brauchst du eigentlich nur diese Folgerung.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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das hört sich recht kompliziert...aber wenn ich bei [mm] A_n:= \summe_{i=1}^{n}a_i [/mm] vollständige Induktion anwenden, dann komme ich nicht auf das andere..ich kann das nicht so richtig nachvollziehen in der Aufgabe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Kannst ja mal schreiben, was du gerechnet hat! Dann finden wir schon raus, wie es weitergeht.
Teufel
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muss ich von der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i [/mm] die vollständige Induktion durchführen? oder von [mm] \summe_{i=1}^{n}a_ib_i?
[/mm]
von [mm] summe_{i=1}^{n}a_i [/mm]
Induktionsvorausssetzung:
i=1
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_1 [/mm] gilt
Induktionsschritt ......ja und ich sehe darain nicht so die Verbindung zu dem rest der Aufgabe!! [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i+1} [/mm] kann ich mit dem Rest nicht verbinden!
kann sein, dass ich grad ein Brett vorm Kopf habe, aber es macht immer noch nicht Klick!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Die Induktion musst du auf $ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})= A_nb_n [/mm] $ anwenden.
Für n=0 (oder n=1, wo auch immer du anfangen willst) stimmt die Gleichung (kannst du ja nachrechnen).
Damit gilt $ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})= A_nb_n [/mm] $ für ein n.
Zu zeigen:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n+1}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})= A_{n+1}b_{n+1} [/mm] $
Dann würde ich damit anfangen, die linke Seite zu zerlegen.
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n+1}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})= \summe_{i=1}^{n}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})+a_{n+1}b_{n+1}+A_{n}(b_{n+1}-b_n)=... [/mm] nun wende die Induktionsvoraussetzung an!
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Do 03.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Oh mein Gott...das sieht sehr kompliziert aus..okay, ich versuche es mal, vielleicht bist du ja dann noch da und kannst mal drüber schauen.
Danke nochmal! :)
mathegirl
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[mm] \summe_{i=1}^{n+1}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n+1}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})= \summe_{i=1}^{n}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})+a_{n+1}b_{n+1}+A_{n}(b_{n+1}-b_n)=A_{n+1}b_{n+1}
[/mm]
Sorry, aber ich stelle mich echt zu blöd an...mich stören die 2 Summen irgendwie beim rechnen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Guck mal die Induktionsvoraussetzung an!
Dort steht doch $ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})= A_nb_n [/mm] $ und das kannst du auch nun verwenden!
Teufel
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Ich verstehe es wirklich nicht...bin anscheinend echt zu blöd für Mathe..ich gebs auf mit der Aufgabe..wenn ich das mit der Induktion schon nicht verstehe, werde ich ganz sicher auch den rest bis morgen früh nicht mehr schaffen.
Aber trotzdem danke, dass du immer so geduldig bist :)
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem! Und das kriegen wir schon noch hin.
Liegt aber vielleicht auch an der Uhrzeit...
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n+1}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})
[/mm]
[mm] =\green{\summe_{i=1}^{n}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n}A_{i-1} (b_i-b_{i-1})}\red{+a_{n+1}b_{n+1}+A_{n}(b_{n+1}-b_n)}
[/mm]
[mm] =\green{A_nb_n}+a_{n+1}b_{n+1}+A_{n}(b_{n+1}-b_n)
[/mm]
[mm] =A_nb_n+a_{n+1}b_{n+1}+A_nb_{n+1}-A_nb_n
[/mm]
[mm] =a_{n+1}b_{n+1}+A_nb_{n+1}
[/mm]
[mm] =(A_n+a_{n+1})b_{n+1}
[/mm]
Und weil [mm] A_n=\summe_{k=1}^{n}a_k [/mm] ist [mm] A_n+a_{n+1}=\summe_{k=1}^{n}a_k+a_{k+1}=\summe_{k=1}^{n+1}a_k=A_{k+1}
[/mm]
Also steht am Ende da:
[mm] ...=A_{k+1}b_{k+1}, [/mm] was zu zeigen war.
Das grüne war dabei die Induktionsvoraussetzung, die du benutzen darfst (wenn du gezeigt hast, dass die Formel für n=1 gilt).
Und die roten 2 Summanden stammen von den 2 Summenzeichen, bei denen n+1 als obere Grenze da steht. Denn man kann ja Summanden aus solchen Summen herausziehen, und das habe ich da gemacht (das macht man auch oft bei solchen Induktionsbeweisen mit Summen).
Teufel
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ich steige da trotzdem grad noch nicht ganz so durch. Bisher hatte ich nur "einfache" Reihen mit vollständiger Induktion zu beweisen. Ich muss mir das morgen nochmal ganz in Ruhe anschauen und fallsich irgendwo was nicht verstehe, werde ich sicher nochmal nachfragen. will es ja schließlich verstehen!
b und c verstehe ich nun noch weniger! soll ich mich dabei auch wieder auf
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_ib_i+\summe_{i=2}^{n}A_{i-1}(b_i-b_{i-1} [/mm] = [mm] A_nb_n [/mm] beziehen, mit dem Leibnitz Kriterium und dem Dirichlet? okay...also der ganze Spaß nochmal :))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Do 03.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Jo, die Formel brauchst du dafür wieder. Aber mindestens genau so wichtig ist auch die Folgerung, die du in a) auch noch zeigen sollst.
Kannst ja mal ne Nacht drüber schlafen! ich hau jetzt auch mal ab.
Gute Nacht.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 06.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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