Abelscher Grenzwertsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mi 30.03.2005 | | Autor: | ThommyM |
Ich habe eine Frage zum Abelschen Grenzwertsatz im Zusammenhang mit der Logarithmus-Reihe. Und zwar haben wir in der Vorlesung als Beispiel zur Differenzierbarkeit von Potenzreihen die Ableitung der Logarithmus-Reihe [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n}x^n[/mm] für [mm]x \in ]-1,+1[[/mm] bestimmt. Dabei findet man ja heraus, dass diese Ableitung mit der Ableitung von [mm]\ln(1+x)[/mm] übereinstimmt. Anschließend kann man dann noch beweisen, dass [mm]\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n}x^n[/mm] für [mm]x \in ]-1,+1[[/mm].
Betrachtet man nun die Intervallgrenzen und untersucht, ob diese Gleichung auch für +1 und -1 gilt, dann stellt man ja zunächst fest, dass für x=-1 diese Gleichung unsinnig ist, da ja [mm]\ln(1+(-1)) = \ln(0)[/mm] nicht definiert ist.
Für x=+1 haben wir jedoch gesagt, dass die Gleichung [mm]\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n}x^n[/mm] immer noch gilt, d.h. es gilt: [mm]\ln(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n}[/mm]. Dies folge aus dem Abelschen Grenzwertsatz.
Aber warum? Der lautet doch folgendermaßen:
Die Potenzreihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n[/mm] konvergiere für einen Punkt [mm]x_0 \in \IR, x_0 > 0[/mm].
Daraus folgt: Die Reihe konvergiert dann gleichmäßig für [mm]x \in D = [0,x_0][/mm] und stellt dort eine stetige Funktion dar.
Für die Logarithmusreihe ist der Konvergenzradius nun doch R=1, oder? Also konvergiert die Logarithmusreihe doch nur für alle x mit |x| < 1. Also kann man im abelschen Grenzwertsatz [mm]x_0[/mm] nicht gleich 1 wählen, da ja dann die Voraussetzung nicht erfüllt ist, da die Reihe in diesem Fall ja nicht für [mm]x_0[/mm] konvergiert.
Was habe ich da nicht verstanden? Hat die Lösung vielleicht etwas mit der Stetigkeit zu tun?
Schon einmal Danke für die Antwort!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Mi 30.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
du hast recht, dass aus konvergenzradius [m] R = 1 [/m] nur die konvergenz der potenzreihe für [m] x \in ]-1, 1[ [/m] folgt. dort konvergiert die reihe aber auch gegen [m] \ln(1+x) [/m].
jedoch kannst du die konvergenz der gewöhnlichen reihe [m] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{n} [/m] , die aus der potenzreihe entsteht, wenn du [m] x = 1 [/m] einsetzt mit dem leibniz-kriterium feststellen und dann den abelschen grenzwertsatz mit [mm] $x_0 [/mm] = 1$ anwenden:
die von der reihe dargestellte funktion auf [m] [0, 1[ [/m] ist [m] \ln (1+x) [/m] und ist auf [m] [0, 1] [/m] stetig, also muss sie auch im punkt [m] x_0 = 1 [/m] mit [m] \ln(1 + 1) = \ln 2 [/m] übereinstimmen!
hoffe das klärt deine frage, wenn nicht frage nach!
grüße
andreas
ps finde es ausgesprochen toll, dass du den LaTeX-formeleditor benutzt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:00 Do 31.03.2005 | | Autor: | ThommyM |
Danke! Ich glaube, ich habs verstanden. Ist ja eigentlich ganz logisch, aber an das Leibniz-Kriterium habe ich hierbei gar nicht gedacht.
Mit dem Latex-Editor ist das gar nicht so schwer. Und außerdem siehts besser aus und man lernt noch was für spätere Hausarbeiten etc. 
(Hoffe, ich hab jetzt die richtige Auswahl getroffen, um diese Antwort hier zu schreiben. Finde die Auswahl etwas komisch.)
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