Abgeschlossen (?) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Di 11.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
Ich habe hier mal eine für mich sehr wichtige Frage, weil ich das irgendwie nicht verstehe. Und zwar: Was genau bedeutet "abgeschlossen" bei Mengen?
Im Skript steht.
Sie X eine Menge und Y die Menge aller Berührungspunkte.
Wenn Y Teilmenge von X ist, so ist X abgeschlossen
Stimmt das denn soweit? Hab das grad mit eigenen Worten wiedergegeben.
Wie kann ich das denn anwenden?
In einem Satz der Vorlesung ging ein, dass die Menge (- [mm] \infty, [/mm] 0] abgeschlossen ist. Aber woran sieht man das?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Ich habe hier mal eine für mich sehr wichtige Frage, weil
> ich das irgendwie nicht verstehe. Und zwar: Was genau
> bedeutet "abgeschlossen" bei Mengen?
>
> Im Skript steht.
>
> Sie X eine Menge und Y die Menge aller Berührungspunkte.
>
> Wenn Y Teilmenge von X ist, so ist X abgeschlossen
>
> Stimmt das denn soweit?
Ja
> Hab das grad mit eigenen Worten
> wiedergegeben.
>
> Wie kann ich das denn anwenden?
Was meinst Du genau ?
>
> In einem Satz der Vorlesung ging ein, dass die Menge (-
> [mm]\infty,[/mm] 0] abgeschlossen ist. Aber woran sieht man das?
Was sind denn die Häufungspunkte dieser Menge ?
Für eine Teilmenge X von [mm] \IR [/mm] gilt:
X ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] der Grenzwert jeder konvergenten Folge in X gehört zu X
Salopp: "abgeschlossen" = "abgeschlossen gegenüber Grenzwertbildung"
FRED
>
> Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Di 11.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Erstmal ein großes Danke ;)
> Was sind denn die Häufungspunkte dieser Menge ?
Ja, das habe ich mich auch gefragt xD Hier steht nur.
Die Menge sei
M := {x [mm] \in [/mm] [a,b] | f(x) [mm] \le [/mm] 0} = [mm] f^{-1}((-\infty, [/mm] 0])
Und wichtig für den Beweis ist nun, dass das Urbild der abgeschlossenen Menge [mm] (-\infty, [/mm] 0] unter Stetigkeit wieder abgeschlossen ist. Das ist mir auch klar, aber warum ist die Menge [mm] (-\infty, [/mm] 0] überhaupt abgeschlossen xD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Und wichtig für den Beweis ist nun, dass das Urbild der
> abgeschlossenen Menge [mm](-\infty,[/mm] 0] unter Stetigkeit wieder
> abgeschlossen ist. Das ist mir auch klar, aber warum ist
> die Menge [mm](-\infty,[/mm] 0] überhaupt abgeschlossen xD
>
Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten:
1. Eine Teilmenge von [mm] $\IR [/mm] $ ist genau dann abgeschlossen wenn ihr Komplement offen ist. Das Komplement ist hier [mm] $(0,\infty)$. [/mm] Von dieser Menge kannst du zeigen, dass sie offen ist. Vgl. meine Antwort auf deine Frage weiter unten, das hier ist eine sehr ähnliche Menge.
2. Du zeigst, dass der Grenzwert jeder konvergenten Folge in [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] wieder in [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] liegt. Das ist wohl weniger einfach.
3. Am einfachsten: eine Menge in [mm] $\IR$ [/mm] ist abgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält. der Rand ist hier nur der Nullpunkt, dieser ist im Intervall enthalten, also ist die Menge abgeschlossen.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:41 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> > Und wichtig für den Beweis ist nun, dass das Urbild der
> > abgeschlossenen Menge [mm](-\infty,[/mm] 0] unter Stetigkeit wieder
> > abgeschlossen ist. Das ist mir auch klar, aber warum ist
> > die Menge [mm](-\infty,[/mm] 0] überhaupt abgeschlossen xD
> >
> Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten:
> 1. Eine Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist genau dann abgeschlossen
> wenn ihr Komplement offen ist. Das Komplement ist hier
> [mm](0,\infty)[/mm]. Von dieser Menge kannst du zeigen, dass sie
> offen ist. Vgl. meine Antwort auf deine Frage weiter unten,
> das hier ist eine sehr ähnliche Menge.
> 2. Du zeigst, dass der Grenzwert jeder konvergenten Folge
> in [mm](-\infty,0][/mm] wieder in [mm](-\infty,0][/mm] liegt. Das ist wohl
> weniger einfach.
> 3. Am einfachsten: eine Menge in [mm]\IR[/mm] ist abgeschlossen,
> wenn sie ihren Rand enthält. der Rand ist hier nur der
> Nullpunkt, dieser ist im Intervall enthalten, also ist die
> Menge abgeschlossen.
ich finde 2. - ehrlich gesagt - am einfachsten, wenn man offene Mengen nicht schon quasi erkennt:
Denn bekannt aus der Analysis, oder auch leicht einzusehen, ist:
Falls (fast) alle [mm] $a_n \le [/mm] p$ für eine Zahl $p [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, und zudem [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent gegen $a [mm] \in \IR$ [/mm] ist, also [mm] $a_n \to a\,,$ [/mm] dann folgt auch schon
$$a [mm] \le p\,.$$
[/mm]
(Insbesondere beinhaltet dies auch: Aus $a [mm] \leftarrow a_n < p$ folgt $a \le p\,.$ Dies kann man nicht durch $a < p\,$ verschärfen, wie etwa das Beispiel $1 \leftarrow 1-\frac{1}{n} < 1$ zeigt.)
Damit ist hier 2. eine Banalität.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 11.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Wie kann man denn begründen, dass die Menge [mm] (-\infty, [/mm] 0) offen ist? Würde DAS denn gehn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> Wie kann man denn begründen, dass die Menge [mm](-\infty,[/mm] 0)
> offen ist? Würde DAS denn gehn?
Betrachte z.B die Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$
[/mm]
Jedes der Elemente [mm] $x_n$ [/mm] liegt in [mm](-\infty,0)[/mm], der Grenzwert 0 der Folge jedoch nicht, daher kann [mm](-\infty,0)[/mm] nicht abgeschlossen sein.
Um zu zeigen, dass die Menge offen ist, zeige, dass [mm] $\forall \: [/mm] x [mm] \in (-\infty,0) \exists \: \epsilon>0: U_\epsilon(x) \subset (-\infty,0)$ [/mm] oder anschaulich: Jeder Punkt in der Menge hat eine Kugelumgebung, die wieder in [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] liegt.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:35 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lippel,
> > Wie kann man denn begründen, dass die Menge [mm](-\infty,[/mm] 0)
> > offen ist? Würde DAS denn gehn?
>
> Betrachte z.B die Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]x_n = \frac{1}{n}[/mm]
>
> Jedes der Elemente [mm]x_n[/mm] liegt in [mm](-\infty,0)[/mm], der Grenzwert
> 0 der Folge jedoch nicht, daher kann [mm](-\infty,0)[/mm] nicht
> abgeschlossen sein.
nur, um dem Missverständnis vorzubeugen: Dieser Teil bezieht sich nicht direkt auf die Frage.
Und auch, wenn die Menge abgeschlossen wäre, heißt das i.a. nicht, dass sie nicht auch offen sein könnte (in [mm] $\IR$ [/mm] mit der üblichen vom Betrag induzierten Metrik gibt's allerdings nicht sonderlich viele Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind).
> Um zu zeigen, dass die Menge offen ist, zeige, dass
> [mm]\forall \: x \in (-\infty,0) \exists \: \epsilon>0: U_\epsilon(x) \subset (-\infty,0)[/mm]
> oder anschaulich: Jeder Punkt in der Menge hat eine
> Kugelumgebung, die wieder in [mm](-\infty,0)[/mm] liegt.
Auch hier eine Ergänzung, weil das gerade bei Anfangssemestlern übersehen wird:
Dieses [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ oben darf und wird i.a. von [mm] $x\,$ [/mm] abhängig sein, daher schreibt man auch oft [mm] $\epsilon=\epsilon(x)$ [/mm] oder [mm] $\epsilon=\epsilon_x\,.$
[/mm]
Und @ Solrakt:
Ich demonstriere Dir mal, wie man zeigen würde, dass offene Intervalle $]a,b[$ offen sind (also zu Recht ihren Namen tragen):
Ist $x [mm] \in [/mm] ]a,b[$ fest, so ist [mm] $\epsilon=\epsilon(x):=\text{min}\{x-a, b-x\} [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] und man kann leicht zeigen, dass
[mm] $$]x-\epsilon,x+\epsilon[ \subseteq ]a,b[\,:$$
[/mm]
Für $z [mm] \in ]x-\epsilon,x+\epsilon[$ [/mm] gilt nämlich wegen
$$z > [mm] x-\epsilon \text{ und }\epsilon \le [/mm] x-a$$
sodann
$$z > [mm] x-(x-a)=a\,,$$
[/mm]
und wegen
$$z < [mm] x+\epsilon \text{ und }\epsilon \le [/mm] b-x$$
folgt
$$z < [mm] x+b-x=b\,,$$
[/mm]
also $a < z < [mm] b\,.$
[/mm]
P.S.:
Überlege Dir nun mal, warum offene Kreisscheiben des [mm] $\IR^2$ [/mm] auch offen sind. Tipp:
Ist für ein $R > [mm] 0\,$ [/mm] und [mm] $z_0 \in \IR^2$ [/mm] die (offene) Kreisscheibe
[mm] $$B_R(z_0):=\{z \in \IR^2: \|z-z_0\|_2 < R\}$$
[/mm]
gegeben, so betrachte für $p [mm] \in B_R(z_0)$ [/mm] (o.E. $p [mm] \not=z_0$) [/mm] die (offene) Kreisscheibe mit Radius [mm] $r:=\text{min}\{\|p-z_0\|_2,\;R-\|p-z_0\|_2\}$ [/mm] und Mittelpunkt [mm] $p\,.$ [/mm] Die Dreiecksungleichung zeigt, dass diese komplett in [mm] $B_R(z_0)$ [/mm] enthalten ist!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:43 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> nur, um dem Missverständnis vorzubeugen: Dieser Teil
> bezieht sich nicht direkt auf die Frage.
>
> Und auch, wenn die Menge abgeschlossen wäre, heißt das
> i.a. nicht, dass sie nicht auch offen sein könnte (in [mm]\IR[/mm]
> mit der üblichen vom Betrag induzierten Metrik gibt's
> allerdings nicht sonderlich viele Mengen, die sowohl offen
> als auch abgeschlossen sind).
Nämlich nur [mm] $\IR$ [/mm] selbst und die leere Menge.
Deswegen habe ich ja auch noch begründet, warum die Menge offen ist und nicht nur gezeigt, dass sie nicht abgeschlossen ist.
Aber trotzdem wohl gut nochmal drauf hinzuweisen, war in der Tat etwas missverstänlich an der Stelle :)
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:51 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lippel,
> Hallo,
>
> > nur, um dem Missverständnis vorzubeugen: Dieser Teil
> > bezieht sich nicht direkt auf die Frage.
> >
> > Und auch, wenn die Menge abgeschlossen wäre, heißt das
> > i.a. nicht, dass sie nicht auch offen sein könnte (in [mm]\IR[/mm]
> > mit der üblichen vom Betrag induzierten Metrik gibt's
> > allerdings nicht sonderlich viele Mengen, die sowohl offen
> > als auch abgeschlossen sind).
>
> Nämlich nur [mm]\IR[/mm] selbst und die leere Menge.
genauso ist es.
> Deswegen habe ich ja auch noch begründet, warum die Menge
> offen ist und nicht nur gezeigt, dass sie nicht
> abgeschlossen ist.
Gut. Ergänzend für SolRakt: Du kennst auch Mengen, die (in der üblichen Metrik) weder offen noch abgeschlossen sind: Nämlich die halboffenen Intervalle in [mm] $\IR$ [/mm] (mit endlichem Radius).
> Aber trotzdem wohl gut nochmal drauf hinzuweisen, war in
> der Tat etwas missverstänlich an der Stelle :)
Es soll auch keine Kritik an Dir sein, sondern ich wollte nur SolRakt vor Missverständnissen bewahren. (Ich gehe bei solchen Ergänzungen nur von mir aus, ob ich das hätte missverstehen können...) 
Gruß,
Marcel
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