Abgeschlossen/Produkttopologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:22 Fr 10.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | X [mm] \times [/mm] Y mit Produkttopologie der topologischen Räume X,Y
A [mm] \subseteq [/mm] X, B [mm] \subseteq [/mm] Y
ZZ.: [mm] \overline{A} \times \overline{B} [/mm] = [mm] \overline{A \times B\} [/mm] |
Mir fehlt die Richtung:
[mm] "\supset"
[/mm]
[mm] \overline{A} [/mm] abgeschlossen in X
[mm] \overline{B} [/mm] abgeschlossen in Y
Nun würde ich gerne schließen [mm] \overline{A} \times \overline{B} [/mm] abgeschlossen in X [mm] \times [/mm] Y.
Ich weiß beim endlichen Produkt: Produkte offener Mengen eine Basis der Produkttopologie (-> Boxtopologie) Wobei Basiselemnte natürlich laut Definition offen sind. Folgt daraus nicht schon, dass Produkte abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind bez der Produkttopologie?
[mm] \overline{A} \supseteq [/mm] A,
[mm] \overline{B} \supseteq [/mm] B
=>(*) [mm] \overline{A}\times \overline{B} \supseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] B
-> Minimalität : [mm] \overline{A} \times \overline{B} \supset \overline{\times B}
[/mm]
Beim Schritt (*) bin ich mir auch noch unsicher!
Interessanfrage: Würde bei (*) auch <= gelten (natürlich in endlichen kartsischen produkten, indennen wird uns gerade befinden)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> ZZ.: [mm]\overline{A} \times \overline{B}[/mm] = [mm]\overline{A \times B\}[/mm]
>
> Mir fehlt die Richtung:
> [mm]"\supset"[/mm]
> [mm]\overline{A}[/mm] abgeschlossen in X
> [mm]\overline{B}[/mm] abgeschlossen in Y
> Nun würde ich gerne schließen [mm]\overline{A} \times \overline{B}[/mm]
> abgeschlossen in X [mm]\times[/mm] Y.
> Ich weiß beim endlichen Produkt: Produkte offener Mengen
> eine Basis der Produkttopologie (-> Boxtopologie) Wobei
> Basiselemnte natürlich laut Definition offen sind. Folgt
> daraus nicht schon, dass Produkte abgeschlossener Mengen
> abgeschlossen sind bez der Produkttopologie?
Das stimmt zwar, ist aber zu zeigen.
Für [mm] $C\subseteq [/mm] X$ und [mm] $D\subseteq [/mm] Y$ abgeschlossen ist
[mm] $(X\times Y)\setminus(C\times D)=((X\setminus C)\times Y)\cup(X\times (Y\setminus [/mm] D))$
offen in [mm] $X\times [/mm] Y$ als Vereinigung offener Mengen, also [mm] $C\times [/mm] D$ abgeschlossen in [mm] $X\times [/mm] Y$.
> [mm]\overline{A} \supseteq[/mm] A,
> [mm]\overline{B} \supseteq[/mm] B
> =>(*) [mm]\overline{A}\times \overline{B} \supseteq[/mm] A [mm]\times[/mm]
> B
> -> Minimalität : [mm]\overline{A} \times \overline{B} \supset \overline{\times B}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beim Schritt (*) bin ich mir auch noch unsicher!
Sei [mm] $(a,b)\in A\times [/mm] B$. Dann ist [mm] $a\in A\subseteq\overline{A}$ [/mm] und [mm] $b\in B\subseteq\overline{B}$. [/mm] Also [mm] $(a,b)\in\overline{A}\times\overline{B}$.
[/mm]
> Interessanfrage: Würde bei (*) auch <= gelten (natürlich
> in endlichen kartsischen produkten, indennen wird uns
> gerade befinden)
Du meinst: Folgt aus [mm] $A\times B\subseteq E\times [/mm] F$ für Mengen $A,B,E,F$ bereits [mm] $A\subseteq [/mm] E$ und [mm] $B\subseteq [/mm] F$?
Falls A und B nichtleer sind, ja. Falls A oder B leer sind, nein.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> ZZ.: [mm]\overline{A} \times \overline{B}[/mm] = [mm]\overline{A \times B\}[/mm]
>
> Mir fehlt die Richtung:
> [mm]"\supset"[/mm]
Mir erscheint [mm] "$\subset$" [/mm] deutlich schwieriger. Magst du deine Lösung präsentieren?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 10.05.2013 | | Autor: | sissile |
Sei [mm] x=(x_1, x_2) \in \overline{A} \times \overline{B}
[/mm]
[mm] B_1 (x_1) [/mm] .. Umgebungsbasis bei [mm] x_1 [/mm] in X
[mm] B_2 (x_2) [/mm] .. Umgebungsbasis bei [mm] x_2 [/mm] in Y
[mm] \forall [/mm] V [mm] \in B_1 (x_1) [/mm] : V [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
[mm] \forall [/mm] T [mm] \in B_2 (x_2) [/mm] : T [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset
[/mm]
ZZ.: [mm] \forall [/mm] S [mm] \in [/mm] B(x) (Umgebungsbasis in X [mm] \times [/mm] Y)
S [mm] \cap [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
B(x) := [mm] \{ U_{x_1} \times U_{x_2} | U_{x_1} \in B_1 (x_1), U_{x_2} \in B_2 (x_2) \}
[/mm]
S [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \times [/mm] B)= [mm] (U_{x_1} \times U_{x_2} [/mm] ) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \times [/mm] B)= [mm] (U_{x_1} \cap [/mm] A ) [mm] \times (U_{x_2} \cap [/mm] B )
EInzelne Komponenten des Produkts nicht leer -> Produkt nicht leer (Vorlesung)
qed.
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