Abgeschlossene Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 So 10.07.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Die Menge X [mm] \subset \IR^n [/mm] sei nicht abgeschlossen. Zeige: es gibt eine stetige Funktion f:X [mm] \to \IR, [/mm] die nicht beschränkt ist. |
Hallo,
ist eine Menge nicht abgeschlossen, so gibt es eine konvergente Folge [mm] a_n [/mm] in X, deren Grenzwert a nicht in X liegt. Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gegeben. Es gibt ein [mm] n_0, [/mm] sodass für alle n>= [mm] n_0 [/mm] gilt: [mm] d(a_n,a)<\varepsilon, [/mm] d. h. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a. [/mm] Sei f eine stetige Funktion mit f:X [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{x-a}, [/mm] so ist f stetig auf X, da a nicht in X liegt. Es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=\bruch{1}{a_n-a}=\infty, [/mm] d. h. f ist nicht beschränkt.
Ist mein Beweis so richtig oder wie könnte ich es besser begründen?
Vielen Dank
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 So 10.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Menge X [mm]\subset \IR^n[/mm] sei nicht abgeschlossen. Zeige:
> es gibt eine stetige Funktion f:X [mm]\to \IR,[/mm] die nicht
> beschränkt ist.
> Hallo,
> ist eine Menge nicht abgeschlossen, so gibt es eine
> konvergente Folge [mm]a_n[/mm] in X, deren Grenzwert a nicht in X
> liegt. Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gegeben. Es gibt ein [mm]n_0,[/mm] sodass
> für alle n>= [mm]n_0[/mm] gilt: [mm]d(a_n,a)<\varepsilon,[/mm] d. h.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a.[/mm] Sei f eine stetige
> Funktion mit f:X [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{1}{x-a},[/mm] so ist
> f stetig auf X, da a nicht in X liegt. Es gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=\bruch{1}{a_n-a}=\infty,[/mm]
> d. h. f ist nicht beschränkt.
> Ist mein Beweis so richtig oder wie könnte ich es besser
> begründen?
> Vielen Dank
> Katrin
Deine Idee ist gut. Nur ist X eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] !!
Für x [mm] \in [/mm] X ist dann [mm] \bruch{1}{x-a} [/mm] sinnlos.
Nimm doch
f:X [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{1}{||x-a||},[/mm] ,
wobei ||*|| eine Norm auf [mm] \IR^^n [/mm] ist.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 So 10.07.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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