Abgeschlossene menge und konvergenz einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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wie beweise ich, dass die Nullstellen einer stetigen Funktion eine abgeschlossene Menge bilden. Was folgt dann für [mm] f(p)\ne0 [/mm] ?
Ich komm bei folgender Folge auf kein gescheites Ergebniss: [mm] (x_{n})_{n\ge1} [/mm] mit [mm] x_{n}=1 [/mm] + 1/2 + [mm] 1/2^2 [/mm] + [mm] 1/2^3 [/mm] + ....... [mm] 1/2^n
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Di 17.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi vicomte1982
zu der ersten frage kann ich noch nicht soviel sagen, dazu müsste ich erst wissen, wie ihr offen, abgeschlossen und stetig definiert habt?
zu dem folgen-/reihenproblem:
sagt dir die geometrische summe oder geometrische reihe etwas?
es gilt:
[m] \displaystyle{ \sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}, \qquad q \not=1 } [/m]
das kann man recht einfach durch vollständige induktion zeigen. in diesem fall ist [m] q = \frac{1}{2} [/m] und damit gilt:
[m] \displaystyle{ x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \hdots + \frac{1}{2^n} = \sum_{k=0}^n \left( \dfrac{1}{2} \right)^k = \dfrac{1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}} } [/m]
jetzt kannst du einfach mal den [m] \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} [/m] des letzten ausdrucks bilden und sehen, was da rauskommt!
grüße
andreas
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Wir haben folgende Definitionen:
Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
sei (X,d) ein metr. Raum und U eine Teilmenge von X. U heißt offen wenn für alle x Element U, ein r>0 existiert mit [mm] B_r(x) [/mm] Teilmenge von U.
Eine Funktion f heißt in allen Punkten [mm] x_0\inD [/mm] stetig, wenn:
[m] \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, \delta_f > 0 \;
\forall x \in D: | x - x_0| < \delta_f \Longrightarrow|f(x) -
f(x_0)| < \varepsilon [/m]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Di 17.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
also dann gebe ich dir mal ein paar zu der abgeschlossenheit der nullstellenmenge:
ich gehe hier mal wieder davon aus, dass es sich um funktionen [m] f: D \longrightarrow \mathbb{R}, \; \mathbb{R} \supset D \text{ offen} [/m] handelt und du die vom betrag implizierte metrik betrachtest. auch hier lässt sich die aussage wieder verallgemeinern, falls dir danach ist.
sei [m] \mathcal{N} := \{ x \in D: f(x) = 0 \} \subset D [/m] die menge der nullstellen der funktion $f$.
um zu zeigen, dass [m] \mathcal{N} [/m] abgeschlossen ist, musst du also nach deiner definition zeigen, dass [m] D \setminus \mathcal{N} = \{ x \in D: f(x) \not= 0 \} [/m] offen ist.
ist [m] D \setminus \mathcal{N} = \emptyset [/m], dann ist dies trivialerweise offen. sei also nun [m] D \setminus \mathcal{N} \not= \emptyset [/m] und [m] x_0 \in D \setminus \mathcal{N} [/m] beliebig aber fest, d.h. [m] f(x_0) = C \not= 0[/m]. wähle nun [m] \varepsilon := |C| > 0 [/m]. da $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist gibt es nun also ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für alle [m] x \in U_\delta(x_0) [/m] gilt [m] | f(x) - f(x_0)| < \varepsilon [/m], also insbesondere [m] f(x) \not= 0[/m], da sonst [m] |f(x) - f(x_0)| = | 0 - C| = |C| < \varepsilon = |C| [/m] was ja offensichtlich ein widerspruch ist.
also gilt für alle [m] x \in U_\delta(x_0) \cap D [/m], dass [m] f(x) \not=0 [/m], also [m] U_\delta(x_0) \subset D \setminus \mathcal{N} [/m].
damit ist aber [m] D \setminus \mathcal{N} [/m] offen - da zu jedem beliebigen punkt [m]x_0[/m] eine umgebung [m] U_\delta(x_0) \cap D[/m] in der menge liegt - und folglich [m] \mathcal{N} [/m] abgeschlossen.
jetzt ist es doch mehr als euin tipp geworden.
kannst du mit meinen antworten etwas anfangen? hast du die stetigkeit der summe zweier stetigen funktionen noch zeigen können? sonst frage bitte einfach nach!
grüße
andreas
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Danke für deine Hilfe.
Das mit der Summe stetiger Funktionen hab ich verstanden.
Durch die letzten beiden arbeite ich mich noch durch.
Ich bereite mich zur Zeit für meine Zwischenprüfung in ANA vor, deshalb stell ich so oft fragen. Unser Prof hat uns einen Fragekatalog zusammengestellt und die Fragen die ich gestellt hab, stehen in diesem Fragkatalog drin. Wenn du willst, kannst du ja für mich die prüfung machen 
Mfg
Elif
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