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| Aufgabe | | Sei M ⊆ R eine Menge und H die Menge der Häufungspunkte von M. Man zeige, dass [mm] \overline{M} [/mm] = M ∪ H abgeschlossen ist. |
Bitte einen Hinweis, wie ich die Aufgabe in Ermangelung eines Skripts und unter Versäumnis der letzten Vorlesung angehen sollte --> Literatur, Beispiele?!
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei M ⊆ R eine Menge und H die Menge der Häufungspunkte
> von M. Man zeige, dass [mm]\overline{M}[/mm] = M ∪ H abgeschlossen
> ist.
> Bitte einen Hinweis, wie ich die Aufgabe in Ermangelung
> eines Skripts und unter Versäumnis der letzten Vorlesung
> angehen sollte --> Literatur, Beispiele?!
> Danke.
kennst Du denn - trotz des fehlenden Skripts - Eure Definition von
Abgeschlossenheit?
Da gibt's mehrere mögliche (einander äquivalente) Varianten!
Falls es möglich ist, würde ich die mit Folgen nehmen:
Zu zeigen ist: Für jede Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit Werten in [mm] $\overline{M}=M \cup H\,,$ [/mm] die gegen ein
$x [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert, muss schon $x [mm] \in \overline{M}$ [/mm] folgen.
P.S. Welche Vorlesung ist das denn? Eventuell hat ja auch jemand anderes
hier die Unterlagen oder evtl. gibt es auch ein älteres Skript.
P.P.S. Für Dich selbst wäre es auch wichtig, Dir klarzumachen, wie die Menge
[mm] $H\,$ [/mm] (bzw. [mm] $H(M)\,$) [/mm] per Definitionem aussieht!
Gruß,
Marcel
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> > Sei M ⊆ R eine Menge und H die Menge der Häufungspunkte
> > von M. Man zeige, dass [mm]\overline{M}[/mm] = M ∪ H abgeschlossen
> > ist.
>
> kennst Du denn - trotz des fehlenden Skripts - Eure
> Definition von
> Abgeschlossenheit?
>
> Da gibt's mehrere mögliche (einander äquivalente)
> Varianten!
Definition über Folgen: Man nennt M ... abgeschlossen, wenn für jede Folge in M, die konvergiert, der Grenzwert auch in M liegt. ...
> Falls es möglich ist, würde ich die mit Folgen nehmen:
> Zu zeigen ist: Für jede Folge [mm](x_n)[/mm] mit Werten in
> [mm]\overline{M}=M \cup H\,,[/mm] die gegen ein
> [mm]x \in \IR[/mm] konvergiert, muss schon [mm]x \in \overline{M}[/mm]
> folgen.
Das verstehe ich dem Prinzip nach, aber ich habe keine Idee für den Beweis. Wie zeigt man so etwas?
> P.S. Welche Vorlesung ist das denn? Eventuell hat ja auch
> jemand anderes
> hier die Unterlagen oder evtl. gibt es auch ein älteres
> Skript.
Ist eine ANA1-Vorlesung, die der Dozent erstmalig durchführt. Den ersten Teil des Skripts hatte er schon fertig und Stunde für Stunde genau das vorgelesen. Die Übungen waren auch (mehr oder weniger) gut zu bearbeiten, weil sie chronologisch zum Skript passten, Das ist jetzt leider vorbei. Jetzt wird auf ein Skript erhältlich bei der RWTH.
> P.P.S. Für Dich selbst wäre es auch wichtig, Dir
> klarzumachen, wie die Menge
> [mm]H\,[/mm] (bzw. [mm]H(M)\,[/mm]) per Definitionem aussieht!
>
Ich glaube, das ist mir nicht klar ..?!
Danke zunächst.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Sei M ⊆ R eine Menge und H die Menge der Häufungspunkte
> > > von M. Man zeige, dass [mm]\overline{M}[/mm] = M ∪ H abgeschlossen
> > > ist.
>
> >
> > kennst Du denn - trotz des fehlenden Skripts - Eure
> > Definition von
> > Abgeschlossenheit?
> >
> > Da gibt's mehrere mögliche (einander äquivalente)
> > Varianten!
>
> Definition über Folgen: Man nennt M ... abgeschlossen,
> wenn für jede Folge in M, die konvergiert, der Grenzwert
> auch in M liegt. ...
>
> > Falls es möglich ist, würde ich die mit Folgen nehmen:
> > Zu zeigen ist: Für jede Folge [mm](x_n)[/mm] mit Werten in
> > [mm]\overline{M}=M \cup H\,,[/mm] die gegen ein
> > [mm]x \in \IR[/mm] konvergiert, muss schon [mm]x \in \overline{M}[/mm]
> > folgen.
>
> Das verstehe ich dem Prinzip nach, aber ich habe keine Idee
> für den Beweis. Wie zeigt man so etwas?
nach altbekannter Methode: Sei [mm] $(x_n)$ [/mm] (irgend-) eine Folge (von der man
nur weiß/annimmt, dass), deren Werte in [mm] $\overline{M}$ [/mm] liegen und die gegen ein
$x [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert. Jetzt zeigt man, dass dann schon $x [mm] \in \overline{M}$ [/mm] gelten
muss. Am Ende sagt man dann: Da das eine beliebige konvergente Folge
mit Werten in [mm] $\overline{M}$ [/mm] war, gilt für jede Folge mit Werten in [mm] $\overline{M}$, [/mm] die
konvergiert, dass deren Grenzwert auch zu [mm] $\overline{M}$ [/mm] gehört.
> > P.S. Welche Vorlesung ist das denn? Eventuell hat ja auch
> > jemand anderes
> > hier die Unterlagen oder evtl. gibt es auch ein
> älteres
> > Skript.
>
> Ist eine ANA1-Vorlesung, die der Dozent erstmalig
> durchführt. Den ersten Teil des Skripts hatte er schon
> fertig und Stunde für Stunde genau das vorgelesen. Die
> Übungen waren auch (mehr oder weniger) gut zu bearbeiten,
> weil sie chronologisch zum Skript passten, Das ist jetzt
> leider vorbei. Jetzt wird auf ein Skript erhältlich bei
> der RWTH.
Käuflich erwerblich oder wie sieht das aus?
> > P.P.S. Für Dich selbst wäre es auch wichtig, Dir
> > klarzumachen, wie die Menge
> > [mm]H\,[/mm] (bzw. [mm]H(M)\,[/mm]) per Definitionem aussieht!
> >
> Ich glaube, das ist mir nicht klar ..?!
Naja, das ist aber genauso wichtig: Wenn man $H(M)$ mit Folgen definiert, ist
der Beweis oben fast trivial. Wenn man es mit "Schnitt einer punktierten
Umgebung" macht, hat man schon etwas mehr zu tun.
Also: Kannst Du auch die Definition von H(M) nachliefern?
Eine mögliche Folgencharakterisierung mal in Worten: Die Menge H(M)
besteht aus den Elementen x eines metrischen Raums, für die gilt: Man
kann eine Folge in M finden, die gegen x konvergiert, ohne x auch nur
(einmal) zu treffen.
(Ich sage: [mm] "$(x_k)$ [/mm] trifft x", wenn ich meine, dass es ein [mm] $k_0$ [/mm] mit [mm] $x_{k_0}=x$
[/mm]
gibt!)
Da gibt es auch noch andere Charakterisierungen, denn generell wäre es
auch kein Problem, eine Charakterisierung zu formulieren, bei der solche
Folgen das x endlich oft treffen dürften. Aber, wie gesagt: Es ist eine
mögliche Charakterisierung!
Gruß,
Marcel
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