Abgeschlossenheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | Sei (X, dX) ein zusammenhängender metrischer Raum. Beweise die folgenden Behauptungen:
a) Sei f : X [mm] -->\IR [/mm] eine stetige Funktion ohne Nullstellen. Existiert ein x [mm] \in [/mm] X mit [mm] f(x_{0}) [/mm] > 0,
so gilt f(x) > 0 für alle x [mm] \in [/mm] X. |
Wir haben in unserer VL gezeigt, dass hier gilt, f(X) ist zusammenhängende TM von [mm] \IR [/mm] . Das bedeutet nur F(X) und [mm] \emptyset [/mm] ist offen + abgeschlossen.
es gilt ja [mm] ]-\infty [/mm] , 0[ ist offen in [mm] \IR.
[/mm]
Gilt [mm] ]-\infty [/mm] , 0] ist abgeschlossen in [mm] \IR? [/mm] Weil dann wär es ja einfach :)
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> Sei (X, dX) ein zusammenhängender metrischer Raum. Beweise
> die folgenden Behauptungen:
> a) Sei f : X [mm]-->\IR[/mm] eine stetige Funktion ohne
> Nullstellen. Existiert ein x [mm]\in[/mm] X mit [mm]f(x_{0})[/mm] > 0,
> so gilt f(x) > 0 für alle x [mm]\in[/mm] X.
> Wir haben in unserer VL gezeigt, dass hier gilt, f(X) ist
> zusammenhängende TM von [mm]\IR[/mm] .
> Das bedeutet nur F(X)
> und [mm]\emptyset[/mm] ist offen + abgeschlossen.
>
> es gilt ja [mm]]-\infty[/mm] , 0[ ist offen in [mm]\IR.[/mm]
>
> Gilt [mm]]-\infty[/mm] , 0] ist abgeschlossen in [mm]\IR?[/mm]
Aber gewiss doch. Du bist sicher damit einverstanden, dass [mm] $]0;+\infty[$ [/mm] offen ist in [mm] $\IR$, [/mm] nicht? Also ist das Komplement dieser offenen Menge, nämlich [mm] $]-\infty;0]$, [/mm] abgeschlossen.
> Weil dann wär es ja einfach :)
Ich verstehe allerdings nicht so recht, wozu Du dies brauchst. Da $f$ stetig ist sind inverse Bilder offener Mengen unter $f$ offen.
Besitzt also $f$ und keine Nullstellen und gäbe es nicht nur ein [mm] $x_0\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_0)>0$ [/mm] sondern auch noch ein [mm] $x_1\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)<0$, [/mm] so hätte man eine disjunkte Zerlegung [mm] $X=f^{-1}(]-\infty;0[)\;\cup\; f^{-1}(]0;+\infty[$. [/mm] Was nicht möglich ist, weil $X$ nach Voraussetzung zusammenhängend ist.
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