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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:07 Fr 19.06.2009 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | Es seien (X; d) ein metrischer Raum und M X. Zeigen Sie:
(i) M abgeschlossen , M = [mm] \overline{M}
[/mm]
(ii) [mm] \overline{M}= [/mm] {x [mm] \in [/mm] X : [mm] \exists (x_{n}) [/mm] in M : [mm] x_{n} [/mm] -> x (n -> [mm] \infty)}. [/mm] |
Hallo
Ich weiß nicht genau wie ich das zeigen kenn. Genügt beispielsweise :
i) Laut einer Bemerkung : M ist abgeschlossen wenn [mm] M=\overline{M} [/mm] aber dies ist ja kein Beweis!
ii) HIer hab ich leider keine Ahnung.
Kann mir bitte jemand helfen??
Danke schon einmal im Vorraus
Diese Aufgabe habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Fr 19.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie habt Ihr denn "abgeschlossen" definiert ?
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:30 Fr 19.06.2009 | | Autor: | ulla |
Also :
Die Menge [mm] \overline{M} [/mm] = [mm] \cap [/mm] A heißt Abschluss von M.
[mm] A\subset [/mm] M
Mehr haben wir dazu nicht definiert.
Kannst du mir da weiterhelfen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Fr 19.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Du meinst wohl [mm] $$\overline{M}:=\bigcap\{A\subset X\mid A\text{ abgeschlossen und }M\subset A\}$
[/mm]
Dann ist offensichtlich [mm] $M\subset\overline{M}$ [/mm] für jede Menge [mm] $M\subset [/mm] X$. Ist M auch noch abgeschlossen, dann folgt aber [mm] $\overline{M}\subset [/mm] M$, da M abgeschlossen ist und [mm] $M\subset [/mm] M$ gilt. Damit hast du die erste Behauptung gezeigt.
Für Aufgabe ii) ist es, wie Fred schon gesagt hat, essentiell, dass du eure Definition von "Abgeschlossenheit einer Menge" rausrückst.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Fr 19.06.2009 | | Autor: | ulla |
Dankeschön für die Antwort!
Also kann ich das bei i) einfach hinschreiben, genügt das?
ii)
Hier unsere Definition:
Sind (X; d) ein metrischer Raum und M X, so gilt
1. M ist abgeschlossen genau dann, wenn fur alle konvergenten Folgen in M auch der Grenzwert in M liegt.
Wie kann ich diese aber auf dei Aufgabe übertragen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Sa 20.06.2009 | | Autor: | pelzig |
ii) Beh: [mm] $\overline{M}:=\bigcap\{A\subset X\mid A\subset M\text{abgeschlossen}\}=\left\{x\in X\mid \exists (x_n)\subset M:\lim_{n\to\infty}x_n=x\right\}$
[/mm]
Du musst zeigen, dass die rechte Seite in der linken enthalten ist und umgekehrt.
a) [mm] "$\supset$": [/mm] Sei [mm] $x\in [/mm] X$, sodass [mm] $(x_n)\subset [/mm] M$ existiert mit [mm] $x_n\to [/mm] x$. Für jede abgeschlossene Menge [mm] $A\supset [/mm] M$ ist dann [mm] $(x_n)\subset [/mm] A$ konvergent... warum ist also [mm] $x\in\overline{M}$ [/mm] ?
b) [mm] "$\subset$": [/mm] Sei [mm] $x\in\overline{M}$, [/mm] d.h. für jede abgeschlossene Menge [mm] $A\supset [/mm] M$ gilt [mm]x\in A[/mm]. Angenommen, es gäbe keine konvergente Folge [mm] $(x_n)\subset [/mm] M$ mit [mm] $x_n\to [/mm] x$. Dann (!) gäbe es ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $\IB_{\varepsilon}(x)\cap M=\emptyset$. [/mm] Dann ist aber [mm] $A:=X\setminus \IB_\varepsilon(x)$ [/mm] abgeschlossen (warum?) mit [mm] $M\subset [/mm] A$ und [mm] $x\not\in [/mm] A$, also [mm] $x\not\in\overline{M}$ [/mm] - Widerspruch.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 22.06.2009 | | Autor: | ulla |
Dankeschön für deine Hilfe.
i) also würde ich sagen, da jede abgeschlossene Menge konvergent --> dass ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert und daher x [mm] \in [/mm] Mabgeschlossen. Stimmt das??
ii) das versteh ich leider nicht wirklich also ich kann nicht erklären warum das der Fall ist.
Kann mir bitte wieder jemand weiterhelfen?
Dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 22.06.2009 | | Autor: | pelzig |
ii) Beh: [mm] $\overline{M}:=\bigcap\{A\subset X\mid A\subset M\text{abgeschlossen}\}=\left\{x\in X\mid \exists (x_n)\subset M:\lim_{n\to\infty}x_n=x\right\}$
[/mm]
> > Du musst zeigen, dass die rechte Seite in der linken enthalten ist und umgekehrt.
> > a) [mm] "$\supset$": [/mm] Sei [mm] $x\in [/mm] X$, sodass [mm] $(x_n)\subset [/mm] M$ existiert mit [mm] $x_n\to [/mm] x$. Für jede abgeschlossene Menge [mm] $A\supset [/mm] M$ ist dann [mm] $(x_n)\subset [/mm] > > A$ konvergent... warum ist also [mm] $x\in\overline{M}$ [/mm] ?
> i) also würde ich sagen, da jede abgeschlossene Menge
> konvergent --> dass ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert und daher
> x [mm]\in[/mm] Mabgeschlossen. Stimmt das??
Was fürn [mm] $\varepsilon$?! $(x_n)\to [/mm] x$ ist konvergent in A, A ist abgeschlossen, also [mm]x\in A[/mm]. Da A eine beliebige abgeschlossene Obermenge von M war, ist [mm] $x\in\overline{M}$.
[/mm]
b) [mm] "$\subset$": [/mm] Sei [mm] $x\in\overline{M}$, [/mm] d.h. für jede abgeschlossene Menge [mm] $A\supset [/mm] M$ gilt [mm]x\in A[/mm]. Angenommen, es gäbe keine konvergente Folge [mm] $(x_n)\subset [/mm] M$ mit [mm] $x_n\to [/mm] x$. Dann (!) gäbe es ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $\IB_{\varepsilon}(x)\cap M=\emptyset$. [/mm] Dann ist aber [mm] $A:=X\setminus \IB_\varepsilon(x)$ [/mm] abgeschlossen (warum?) mit [mm] $M\subset [/mm] A$ und [mm] $x\not\in [/mm] A$, also [mm] $x\not\in\overline{M}$ [/mm] - Widerspruch.
> ii) das versteh ich leider nicht wirklich also ich kann
> nicht erklären warum das der Fall ist.
Was genau verstehst du nicht? Wieso [mm] $A=:X\setminus\IB_\varepsilon(x)$ [/mm] abgeschlossen ist? Nun, das Komplement offener Mengen ist abgeschlossen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Sa 04.07.2009 | | Autor: | ulla |
Dankeschön für deine Hilfe ich habs denke ich soweit auch ganz gut verstanden!
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