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| Aufgabe | | Sei (X, Norm: [mm] \cdot [/mm] ) ein normierter Raum und U ein vollständiger normierter Unterraum. Zeigen Sie, dass U abgeschlossen ist. |
Hallo,
das ist meine erste Frage hier, ich hoffe ich mache alles richtig.
Meine Lösung ist wie folgt:
Da es sich bei U um einen vollständig normierten Vektorraum handelt, ist U ein Banachraum (haben wir in der VL gezeigt). In einem Banachraum konvergiert jede Cauchy-Folge (haben wir auch gezeigt). Es konvergiert somit jede Folge in U, da jede konvergente Folge in einem metrischen Raum eine Cauchy-Folge ist (in VL gezeigt). Da es sich bei U um einen Unterraum von X handelt, sind alle [mm] x\in\ U [/mm] auch [mm] x\in\ X [/mm]. Jede Folge konvergiert somit gegen ein [mm] x\in\ X [/mm]. Jetzt lässt sich Satz 7.3 anwenden: Sei X ein metrischer Raum und [mm] X \supset U [/mm]. Dann gilt: Ist [mm] (x_k) _k\in\IN [/mm] eine Folge in U mit [mm] lim_{k \to \infty}x_k [/mm] = [mm] x\in\ [/mm] X, so folgt [mm] x\in\ [/mm] U [mm] \gdw [/mm] U ist abgeschlossen.
Leider bin ich mir bei meiner Lösung sehr unsicher. Ich weiß z.B. nicht ob ich noch zeigen muss, dass es sich bei U um einen Vektorraum handelt?
P.S. Zu der Schreibweise: Ich konnte auf der Anleitung für die Schreibweise keine Formel für Norm oder auch nur Betrag finden. Wie schreibt Ihr das denn hier?
Gruß almigthybald
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (X, Norm: [mm]\cdot[/mm] ) ein normierter Raum und U ein
> vollständiger normierter Unterraum. Zeigen Sie, dass U
> abgeschlossen ist.
> Hallo,
>
> das ist meine erste Frage hier, ich hoffe ich mache alles
> richtig.
>
> Meine Lösung ist wie folgt:
>
> Da es sich bei U um einen vollständig normierten Vektorraum
> handelt, ist U ein Banachraum (haben wir in der VL
> gezeigt). In einem Banachraum konvergiert jede Cauchy-Folge
> (haben wir auch gezeigt). Es konvergiert somit jede Folge
> in U, da jede konvergente Folge in einem metrischen Raum
> eine Cauchy-Folge ist (in VL gezeigt). Da es sich bei U um
> einen Unterraum von X handelt, sind alle [mm]x\in\ U[/mm] auch [mm]x\in\ X [/mm].
> Jede Folge konvergiert somit gegen ein [mm]x\in\ X [/mm]. Jetzt
> lässt sich Satz 7.3 anwenden: Sei X ein metrischer Raum und
> [mm]X \supset U [/mm]. Dann gilt: Ist [mm](x_k) _k\in\IN[/mm] eine Folge in U
> mit [mm]lim_{k \to \infty}x_k[/mm] = [mm]x\in\[/mm] X, so folgt [mm]x\in\[/mm] U [mm]\gdw[/mm]
> U ist abgeschlossen.
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> Leider bin ich mir bei meiner Lösung sehr unsicher. Ich
> weiß z.B. nicht ob ich noch zeigen muss, dass es sich bei U
> um einen Vektorraum handelt?
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> P.S. Zu der Schreibweise: Ich konnte auf der Anleitung für
> die Schreibweise keine Formel für Norm oder auch nur Betrag
> finden. Wie schreibt Ihr das denn hier?
Betrag schreibt sich [mm] $|\cdot|$ [/mm] und Norm schreibt sich [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] (klick auf die Formeln). (Notfalls schau' einfach mal bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki bzw. such' nach Latex-Formeln.)
Zu Deiner Frage oben:
Es steht oben, dass [mm] $U\,$ [/mm] ein vollständig normierter Unterraum von [mm] $(X,\|.\|)$ [/mm] sei. Das heißt insbesondere, dass [mm] $U\,$ [/mm] nach Voraussetzung ein Unterraum ist. Voraussetzungen lassen sich nicht beweisen!
Deine Gedankengänge oben sind gar nicht so verkehrt, aber sie sind nicht wirklich sortiert und irgendwie hab' ich das Gefühl, dass Du zwar weißt, was Du brauchst, aber ein wenig den Überblick verloren hast.
Also sortieren wir es mal:
Ich gehe jetzt davon aus, dass Dir klar ist, dass die Metrik des Banachraumes von der Norm induziert ist. D.h., wir betrachten [mm] $(X,\|.\|)$ [/mm] als metrischen Raum [mm] $(X,d_{X \times X})$, [/mm] wobei [mm] $d_{X \times X}(x,y):=\|x-y\|$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in [/mm] X$ (d.h. [mm] $d_{X \times X}$ [/mm] ist eine Abbildung $X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$).
[/mm]
Zudem betrachtet man [mm] $(U,\|.\|_{|U})$, [/mm] wobei [mm] $\|.\|_{|U}$ [/mm] die Einschränkung von [mm] $\|.\|:\;\;X \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \|x\|$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] X$) bezeichne. Und nun betrachtet man [mm] $U\,$ [/mm] mit der Metrik [mm] $d_{|U \times U}$, [/mm] d.h. der Einschränkung von [mm] $d_{X \times X}$ [/mm] auf $U [mm] \times U\,,$ [/mm] ausgestattet. Im Unterraum [mm] $U\,$ [/mm] schreibt man später dann aber wieder [mm] $\|.\|\,.$ [/mm] (Zudem ist damit [mm] $(U,d_{|U \times U})$ [/mm] hier auch selbst wieder ein metrischer Raum; aber das nur nebenbei.) Soviel mal als Vorgeplänkel...
Den Beweis der Abgeschlossenheit von [mm] $U\,$ [/mm] werden wir dann mit dem von Dir zitierten Satz 7.3 führen:
Sei [mm] $X\,$ [/mm] ein metrischer Raum und $ X [mm] \supset U\,.$ [/mm] Dann gilt: Ist $ [mm] (x_k) _k\in\IN [/mm] $ eine Folge in [mm] $U\,$ [/mm] mit [mm] $\lim_{k \to \infty}x_k [/mm] = [mm] x\in\ [/mm] X$, so folgt $ [mm] x\in\ [/mm] U$ [mm] $\gdw$ $U\,$ [/mm] ist abgeschlossen.
Nach dem obigen Vorgeplänkel ist nämlich [mm] $(X,d_{X \times X})$ [/mm] ein metrischer Raum und $U [mm] \subset X\,.$ [/mm]
Der Beweis der Abgeschlossenheit von [mm] $U\,$ [/mm] ergibt sich nun durch die Richtung [mm] '$\Rightarrow$' [/mm] in Satz 7.3 (d.h., wir werden zeigen, dass oben die Aussage linkerhand von Satz 7.3 gilt!):
Sei [mm] $(x_k)_k$ [/mm] eine Folge in [mm] $U\,$ [/mm] (d.h. [mm] $x_k \in [/mm] U$ für alle [mm] $k\,$) [/mm] mit [mm] $\lim_{k \to \infty} x_k=x \in X\,$ [/mm] (m.a.W.: es ist [mm] $(x_k)_k$ [/mm] eine Folge in [mm] $U\,,$ [/mm] die einen Grenzwert in [mm] $X\,$ [/mm] hat). Wir haben zu argumentieren, dass dann schon $x [mm] \in [/mm] U$ gilt (mit anderen Worten: Wir haben zu zeigen, dass dann schon der Grenzwert der Folge [mm] $(x_k)_k$ [/mm] in [mm] $U\,$ [/mm] liegen muss).
Weil [mm] $U\,$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $X\,$ [/mm] ist, ist [mm] $(x_k)_k$ [/mm] insbesondere eine Folge in [mm] $X\,.$ [/mm] Die Folge [mm] $(x_k)_k$ [/mm] ist als konvergente Folge insbesondere eine Cauchyfolge (ist Dir das klar? Falls nicht: Beweis?).
Somit ist [mm] $(x_k)_k$ [/mm] also eine Cauchyfolge in [mm] $U\,.$ [/mm] Nach Voraussetzung ist [mm] $U\,$ [/mm] ein vollständig normierter Unterraum, also hat [mm] $(x_k)_k$ [/mm] - als Cauchyfolge in [mm] $U\,$ [/mm] - damit auch einen Grenzwert [mm] $x^{\star} \in U\,.$ [/mm]
Die Eindeutigkeit des Grenzwertes (hier: in einem metrischen Raum, wo die Metrik von einer Norm induziert ist!) liefert somit [mm] $x=x^{\star}$ [/mm] und wegen [mm] $x^{\star} \in [/mm] U$ somit auch $x [mm] \in U\,.$
[/mm]
(Alternative Argumentation für den letzten Satz:
Es gilt somit einerseits [mm] $\|x_k [/mm] -x [mm] \| \to [/mm] 0$ ($k [mm] \to \infty$), [/mm] sowie andererseits [mm] $\|x_k-x^{\star}\| \to [/mm] 0$ ($k [mm] \to \infty$). [/mm] Daraus folgt
[mm] $$\|x-x^{\star}\| \le \|x-x_k\|+\|x_k-x^{\star}\| \to 0+0=0\;\;(k \to \infty)\,,$$
[/mm]
also [mm] $\|x^{\star}-x\|=0$, [/mm] woraus [mm] $x^{\star}-x=0$ [/mm] und damit [mm] $x^{\star}=x$ [/mm] und damit $x [mm] \in [/mm] U$ folgt.)
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort.
Gruß Karsten
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